Operator logika

Dalam logika, operator logika atau perangkai logika merupakan simbol logika yang dipakai untuk menghubungkan rumus-rumus logika. Sebagai contoh, dalam sintaks logika proposisional, operasi biner ∨ {\displaystyle \lor } $\lor$ dapat dipakai untuk menggabungkan dua rumus atomik P {\displaystyle P} $P$ dan Q {\displaystyle Q} $Q$ , memberikan rumus kompleks P ∨ Q {\displaystyle P\lor Q} $P\lor Q$ .

Operator logika pada umumnya meliputi negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi dan kesetaraan . Dalam sistem logika klasik yang standar, operator-operator tersebut dipandang sebagai fungsi kebenaran, yakni fungsi yang menerima suatu nilai kebenaran (benar atau salah) dan menghasilkan nilai kebenaran yang baru. Sedangkan dalam logika non-klasik ada beberapa interpretasi berbeda terkait definisi dari operator-operator tersebut. Interpretasi klasik dari setiap operator tersebut mirip dengan ungkapan "tidak", "atau", "dan", dan "jika" dalam bahasa alami seperti Bahasa Indonesia, walau tidak identik.

Pendahuluan

Dalam bahasa formal, fungsi-fungsi kebenaran dinyatakan lewat simbol-simbol yang tak ambigu. Hal ini memungkinkan pernyataan logika dapat dipahami dalam cara yang tidak ambigu. Simbol-simbol ini selanjutnya disebut operator logika atau perangkai logika.

Operator logika dapat digunakan untuk menghubungkan nol atau lebih pernyataan-pernyataan, memungkinkan seorang membahas operator logika n-ary. Konstanta Boolean Benar dan Salah dapat dianggap sebagai operator 0-ary, negasi sebagai operator 1-ary, dan seterusnya.

Daftar operator logika yang umum

Berikut adalah daftar beberapa operator logika yang umum, simbol, dan popularitasnya:^[1]

Negasi (tidak): ¬ {\displaystyle \neg } $\neg$ , ∼ {\displaystyle \sim } $\sim$ , N {\displaystyle N} $N$ (prefiks), dengan ¬ {\displaystyle \neg } $\neg$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan ∼ {\displaystyle \sim } $\sim$ masih digunakan oleh banyak orang;

Konjungsi (dan): ∧ {\displaystyle \wedge } $\wedge$ , & {\displaystyle \&} $\&$ , K {\displaystyle K} $K$ (prefiks), dengan ∧ {\displaystyle \wedge } $\wedge$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
Disjungsi (atau): ∨ {\displaystyle \vee } $\vee$ , A {\displaystyle A} $A$ (prefiks), dengan ∨ {\displaystyle \vee } $\vee$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
Implikasi (jika...maka...): → {\displaystyle \to } $\to$ , ⊃ {\displaystyle \supset } $\supset$ , ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } $\Rightarrow$ , C {\displaystyle C} $C$ (prefiks), dengan → {\displaystyle \to } $\to$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan ⊃ {\displaystyle \supset } $\supset$ masih digunakan oleh banyak orang;
Kesetaraan (jika dan hanya jika): ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } $\leftrightarrow$ , ⊂ ⊃ {\displaystyle \subset \!\!\!\supset } $\subset \!\!\!\supset$ , ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } $\Leftrightarrow$ , ≡ {\displaystyle \equiv } $\equiv$ , E {\displaystyle E} $E$ (prefiks), dengan ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } $\leftrightarrow$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan ⊂ ⊃ {\displaystyle \subset \!\!\!\supset } $\subset \!\!\!\supset$ dapat menjadi pasangan yang cocok ketika menggunakan simbol implikasi ⊃ {\displaystyle \supset } $\supset$ , seperti ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } $\leftrightarrow$ ketika menggunakan → {\displaystyle \to } $\to$ .

Makna hubungan [antar] pernyataan dapat berubah ketika dibubuhi operator-operator tersebut. Sebagai contoh, pernyataan hari ini hujan (disimbolkan dengan p {\displaystyle p} $p$ ) dan saya ada di dalam ruangan (disimbolkan dengan q {\displaystyle q} $q$ ) dapat berubah menjadi:

Hari ini tidak hujan ( ¬ p {\displaystyle \neg p} $\neg p$ );
Hari ini hujan dan saya ada di dalam ruangan ( p ∧ q {\displaystyle p\wedge q} $p\wedge q$ );
Hari ini hujan atau saya ada di dalam ruangan ( p ∨ q {\displaystyle p\lor q} $p\lor q$ );
Jika hari ini hujan, maka saya ada di dalam ruangan ( p → q {\displaystyle p\rightarrow q} $p\rightarrow q$ );
Jika saya ada di dalam ruangan, maka hari ini hujan ( q → p {\displaystyle q\rightarrow p} $q\rightarrow p$ );
Saya ada di dalam ruangan jika dan hanya jika hari ini hujan ( p ↔ q {\displaystyle p\leftrightarrow q} $p\leftrightarrow q$ );

Pernyataan yang selalu benar dan pernyataan yang selalu salah juga umum dianggap sebagai sebagai sebuah operator:

Benar, disimbolkan dengan ⊤ {\displaystyle \top } $\top$ , 1 {\displaystyle 1} $1$ , V {\displaystyle V} $V$ (prefiks), atau T {\displaystyle \mathrm {T} } $\mathrm {T}$ ;
Salah, disimbolkan dengan ⊥ {\displaystyle \bot } $\bot$ , 0 {\displaystyle 0} $0$ , O {\displaystyle O} $O$ (prefiks), atau F {\displaystyle \mathrm {F} } $\mathrm {F}$

Sejarah dari notasi yang digunakan

Negasi: Simbol ¬ {\displaystyle \neg } $\neg$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930^[2]^[3] (mirip dengan simbol ⫟ dalam Begriffsschrift oleh Frege^[4]). Sedangkan simbol ∼ {\displaystyle \sim } $\sim$ muncul dalam publikasi oleh Russell tahun 1908.^[5] Alternatif notasi negasi lainnya dilakukan dengan menambahkan garis horizontal di atas rumus (pernyataan) yang bersangkutan, seperti p ¯ {\displaystyle {\overline {p}}} ${\overline {p}}$ , atau dengan menggunakan tanda petik, seperti p ′ {\displaystyle p'} $p'$ .
Konjungsi: Simbol ∧ {\displaystyle \wedge } $\wedge$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930^[2] (mirip dengan simbol irisan ∩ {\displaystyle \cap } $\cap$ Peano dalam teori himpunan^[6]). Simbol & {\displaystyle \&} $\&$ setidaknya sudah digunakan sejak Schönfinkel di tahun 1924,^[7] sedangkan simbol ⋅ {\displaystyle \cdot } $\cdot$ berasal dari interpretasi oleh Boole yang mengganggap logika sebagai aljabar elementer.

Referensi

↑ Chao, C. (2023). 数理逻辑：形式化方法的应用 [Mathematical Logic: Applications of the Formalization Method] (dalam bahasa Chinese). Beijing: Preprint. hlm. 15–28.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
1 2 Heyting, A. (1930). "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (dalam bahasa German): 42–56.{{cite journal}}: Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
↑ Denis Roegel (2002), A brief survey of 20th century logical notations (see chart on page 2).
↑ Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle a/S.: Verlag von Louis Nebert. hlm. 10.
↑ Russell (1908) Mathematical logic as based on the theory of types (American Journal of Mathematics 30, p222–262, also in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort).
↑ Peano (1889) Arithmetices principia, nova methodo exposita.
↑ Schönfinkel (1924) Über die Bausteine der mathematischen Logik, translated as On the building blocks of mathematical logic in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort.