Grup permutasi

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik S n {\displaystyle \mathrm {S} _{n}} Grup Klein V {\displaystyle \mathrm {V} } Grup dihedral D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} Grup kuaternion Q {\displaystyle \mathrm {Q} } Grup disiklik D i c n {\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) Grup bebas Grup modular P S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )} S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )} Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} Linear khusus S L ( n ) {\displaystyle \mathrm {SL} (n)} Ortogonal O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} Euklides E ( n ) {\displaystyle \mathrm {E} (n)} Ortogonal khusus S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} Uner U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} Uniter khusus S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} Simplektik S p ( n ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)} G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga O ( ∞ ) {\displaystyle O(\infty )} S U ( ∞ ) {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )} S p ( ∞ ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi G {\displaystyle G} adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan M {\displaystyle M} dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym( M {\displaystyle M} ) (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan M = { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle M=\{1,2,...,n\}} , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai S n {\displaystyle S_{n}} .^[1]

Notasi

Untuk suatu himpunan M {\displaystyle M} , permutasi σ {\displaystyle \sigma } atas M {\displaystyle M} adalah suatu bijeksi σ : M → M {\displaystyle \sigma :M\rightarrow M} . Sebagai contoh, untuk himpunan M = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle M=\{1,2,3,4\}} , salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi σ {\displaystyle \sigma } yang memenuhi

σ ( 1 ) = 3 , σ ( 2 ) = 1 , σ ( 3 ) = 2 {\displaystyle \sigma (1)=3,\sigma (2)=1,\sigma (3)=2} dan σ ( 4 ) = 4 {\displaystyle \sigma (4)=4} . Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris

σ = ( 1 2 3 4 3 1 2 4 ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&1&2&4\end{pmatrix}}}

atau secara umum, unsur dalam grup permutasi S n {\displaystyle S_{n}} dapat ditulis sebagai matriks

σ = ( 1 2 3 . . . n σ ( 1 ) σ ( 2 ) σ ( 3 ) . . . σ ( n ) ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\sigma (3)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}} .^[2]

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})} dengan panjang n {\displaystyle n} melambangkan pemetaan a 1 ↦ a 2 , a 2 ↦ a 3 , . . . , a n − 1 ↦ a n , a n ↦ a 1 {\displaystyle a_{1}\mapsto a_{2},a_{2}\mapsto a_{3},...,a_{n-1}\mapsto a_{n},a_{n}\mapsto a_{1}} .^[1] Sebagai contoh, tinjau permutasi σ {\displaystyle \sigma } pada grup permutasi S 6 {\displaystyle S_{6}} yang didefinisikan oleh

σ = ( 1 2 3 4 5 6 3 1 2 4 6 5 ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\3&1&2&4&6&5\end{pmatrix}}} .

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi ( 132 ) ( 4 ) ( 56 ) {\displaystyle (132)(4)(56)} yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi ( 132 ) ( 56 ) {\displaystyle (132)(56)} . Dua buah putaran ( a 1 , a 2 , . . . , a m ) , ( b 1 , b 2 , . . . , b k ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{m}),(b_{1},b_{2},...,b_{k})} yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan { a 1 , . . . , a m } {\displaystyle \{a_{1},...,a_{m}\}} dengan { b 1 , . . . , b k } {\displaystyle \{b_{1},...,b_{k}\}} tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas α , β ∈ S n {\displaystyle \alpha ,\beta \in S_{n}} , berlaku pula α β = β α {\displaystyle \alpha \beta =\beta \alpha } .^[3]

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan σ ∈ S n {\displaystyle \sigma \in S_{n}} suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks

σ = ( 1 2 . . . n σ ( 1 ) σ ( 2 ) . . . σ ( n ) ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&...&n\\\sigma (1)&\sigma (2)&...&\sigma (n)\end{pmatrix}}} ,

invers dari σ {\displaystyle \sigma } yang dinotasikan sebagai σ − 1 {\displaystyle \sigma ^{-1}} dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

σ − 1 = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) . . . σ ( n ) 1 2 . . . n ) {\displaystyle \sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (1)&\sigma (2)&...&\sigma (n)\\1&2&...&n\end{pmatrix}}} .^[2]

Dekomposisi putaran

Setiap permutasi pada grup permutasi S n {\displaystyle S_{n}} dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas.^[2] Sebagai contoh, permutasi

σ = ( 1 2 3 4 5 6 6 3 4 2 5 1 ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\6&3&4&2&5&1\end{pmatrix}}}

dapat ditulis sebagai σ = ( 16 ) ( 234 ) ( 5 ) {\displaystyle \sigma =(16)(234)(5)} .

Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan σ ∈ S n {\displaystyle \sigma \in S_{n}} terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang a 1 , a 2 , . . . , a k {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{k}} , orde dari σ {\displaystyle \sigma } kemudian adalah kelipatan persekutuan terkecil dari a 1 , a 2 , . . . , a k {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{k}} .^[2]

Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.^[3] Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi S n {\displaystyle S_{n}} kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di S n {\displaystyle S_{n}} dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi).^[4] Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya.^[2] Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian grup berayun, yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.^[2]

Teorema Cayley

Dalam teori grup, teorema Cayley mengatakan bahwa sebarang grup G {\displaystyle G} isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym( S {\displaystyle S} ) untuk suatu S {\displaystyle S} . Untuk G {\displaystyle G} yang memiliki orde berhingga, berlaku G {\displaystyle G} isomorfis dengan grup permutasi S n {\displaystyle S_{n}} .^[2]

Lihat pula

• grup-2 transitif
• Grup permutasi pangkat 3
• Grup Mathieu

Referensi