Subgrup

Bagian dari grup yang membentuk grup itu sendiriTemplat:SHORTDESC:Bagian dari grup yang membentuk grup itu sendiri

Untuk kegunaan lain, lihat Subgrup (disambiguasi).

Struktur aljabar → Teori grup
Teori grup

Gagasan dasar

Homomorfisme grup

Grup hingga

Klasifikasi grup sederhana hingga

Grup Frobenius

Pengganda Schur

Grup simetrik S n {\displaystyle \mathrm {S} _{n}} $\mathrm {S} _{n}$

Grup Klein V {\displaystyle \mathrm {V} } $\mathrm {V}$
Grup dihedral D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} $\mathrm {D} _{n}$
Grup kuaternion Q {\displaystyle \mathrm {Q} } $\mathrm {Q}$
Grup disiklik D i c n {\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}} $\mathrm {Dic} _{n}$

Bilangan bulat ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } $\mathbb {Z}$ )
Grup bebas

Grup modular

P S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )} $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$
S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )} $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$

Topologis dan Grup Lie

Linear umum G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} $\mathrm {GL} (n)$

Linear khusus S L ( n ) {\displaystyle \mathrm {SL} (n)} $\mathrm {SL} (n)$

Ortogonal O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} $\mathrm {O} (n)$

Euklides E ( n ) {\displaystyle \mathrm {E} (n)} $\mathrm {E} (n)$

Ortogonal khusus S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} $\mathrm {SO} (n)$

Uner U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} $\mathrm {U} (n)$

Uniter khusus S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} $\mathrm {SU} (n)$

Simplektik S p ( n ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)} $\mathrm {Sp} (n)$

Grup Lie berdimensi takhingga

O ( ∞ ) {\displaystyle O(\infty )} $O(\infty )$
S U ( ∞ ) {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )} $\mathrm {SU} (\infty )$
S p ( ∞ ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )} $\mathrm {Sp} (\infty )$

Grup aljabar

Grup aljabar linear

Grup reduktif

Varietas Abel

Kurva eliptik

Dalam teori grup, subhimpunan dari suatu grup G {\displaystyle G} $G$ adalah subgrup dari G {\displaystyle G} $G$ jika anggota dari subhimpunan tersebut membentuk suatu grup terhadap operasi yang sama di grup G {\displaystyle G} $G$

Diberikan suatu grup G {\displaystyle G} $G$ di bawah operasi biner ∗ {\displaystyle *} $*$ . Maka suatu himpunan bagian H {\displaystyle H} $H$ dari G {\displaystyle G} $G$ disebut subgrup dari G {\displaystyle G} $G$ jika H {\displaystyle H} $H$ juga membentuk grup di bawah operasi ∗ {\displaystyle *} $*$ . Lebih tepatnya, H {\displaystyle H} $H$ adalah subgrup dari G {\displaystyle G} $G$ jika restriksi dari ∗ {\displaystyle *} $*$ ke H × H {\displaystyle H\times H} $H\times H$ adalah operasi grup di H {\displaystyle H} $H$ . Biasanya ini dilambangkan H ≤ G {\displaystyle H\leq G} $H\leq G$ , dibaca sebagai " H {\displaystyle H} $H$ adalah subgrup dari G {\displaystyle G} $G$ ".

Subgrup trivial dari setiap grup adalah subgrup yang hanya mengandung elemen identitas { e } {\displaystyle \{e\}} $\{e\}$ .^[1]

Pengujian

Misalkan G {\displaystyle G} $G$ adalah grup, dan H {\displaystyle H} $H$ adalah subgrup dari G {\displaystyle G} $G$ . Untuk saat ini, asumsi bahwa operasi grup G {\displaystyle G} $G$ ditulis dalam notasi bentuk perkalian, yakni jukstaposisi.

Maka H {\displaystyle H} $H$ adalah subgrup dari G {\displaystyle G} $G$ jika dan hanya jika H {\displaystyle H} $H$ adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah perkalian dan invers. Maksud dari "tertutup di bawah perkalian" disini adalah untuk setiap elemen a {\displaystyle a} $a$ dan b {\displaystyle b} $b$ di H {\displaystyle H} $H$ , hasil kali a b {\displaystyle ab} $ab$ ada di H {\displaystyle H} $H$ . "Tertutup di bawah invers" berarti untuk setiap elemen a {\displaystyle a} $a$ di H {\displaystyle H} $H$ , inversnya a − 1 {\displaystyle a^{-1}} $a^{-1}$ ada di H {\displaystyle H} $H$ . Dengan menggabungkan dua persyaratan tersebut, maka untuk setiap elemen a {\displaystyle a} $a$ dan b {\displaystyle b} $b$ di H {\displaystyle H} $H$ , elemen a b − 1 {\displaystyle ab^{-1}} $ab^{-1}$ berada di H {\displaystyle H} $H$ . Alangkah lebih mudahnya untuk menguji masing-masing kedua persyaratan ketertutupan tersebut.^[2]
Ketika H {\displaystyle H} $H$ adalah himpunan tertinggi, pengujiannya dapat disederhanakan sebagai berikut: H {\displaystyle H} $H$ adalah subgrup jika dan hanya jika H {\displaystyle H} $H$ adalah himpunan tak kosong dan tertutup di bawah operasi perkalian. Persyaratan tersebut sendiri menyiratkan bahwa untuk setiap elemen a {\displaystyle a} $a$ dari H {\displaystyle H} $H$ menghasilkan subgrup siklik terhingga dari H {\displaystyle H} $H$ , katakanlah orde n {\displaystyle n} $n$ , dan kemudian invers dari a {\displaystyle a} $a$ adalah a n − 1 {\displaystyle a^{n-1}} $a^{n-1}$ .^[2]

Jika operasi grup dilambangkan sebagai operasi penambahan, maka "ketertutupan di bawah hasil kali" baiknya digantikkan dengan "ketertutupan di bawah penambahan", yang mensyaratkan bahwa untuk setiap elemen a {\displaystyle a} $a$ dan b {\displaystyle b} $b$ di H {\displaystyle H} $H$ , penjumlahan a + b {\displaystyle a+b} $a+b$ berada di dalam H {\displaystyle H} $H$ , dan "tertutup di bawah invers" digantikan dengan menyatakan, untuk setiap a {\displaystyle a} $a$ di H {\displaystyle H} $H$ , inversnya − a {\displaystyle -a} $-a$ ada di H {\displaystyle H} $H$ .

Koset dan teorema Lagrange

Artikel utama: Coset dan Teorema Lagrange (teori grup)

Diberikan subgrup H dan beberapa a di G, kita mendefinisikan kiri coset aH = {ah : h in H}. Karena a bisa dibalik, peta φ : H → aH diberikan pada φ(h) = ah adalah bijeksi. Lebih jauh, setiap elemen G terkandung tepat di satu koset kiri H ; koset kiri adalah kelas kesetaraan yang sesuai dengan relasi ekivalen a₁ ~ a₂ jika dan hanya jika a₁⁻¹a₂ ada di H. Jumlah koset kiri H disebut indeks dari H dalam G dan dilambangkan dengan [G : H].

Teorema Lagrange menyatakan bahwa untuk grup berhingga G dan subgrup H,

[ G : H ] = | G | | H | {\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}} $[G:H]={|G| \over |H|}$

di mana |G| dan |H| menunjukkan urutan dari G dan H, masing-masing. Secara khusus, urutan setiap subkelompok G (dan urutan setiap elemen G) harus berupa pembagi dari |G|.^[3]^[4]

Contoh: Subgrup Z₈

Maka G jadikan grup siklik ke Z₈ maka hasil elemen

G = { 0 , 2 , 4 , 6 , 1 , 3 , 5 , 7 } {\displaystyle G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}} $G=\left\{0,2,4,6,1,3,5,7\right\}$

dan yang operasi grupnya adalah penambahan modulo delapan. Tabel Cayley adalah

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Grup ini memiliki dua subgrup nontrivial: J={0,4} and H={0,2,4,6}, di mana J juga merupakan subgrup dari H. Tabel Cayley untuk H adalah kuadran kiri atas tabel Cayley untuk G . Grup G adalah siklik, dan juga subgrupnya.