Grup hasil bagi

Struktur aljabar → Teori grup Teori grup
Gagasan dasar Subgrup Subgrup normal Grup hasil bagi darab langsung semi-darab langsung Homomorfisme grup kernel bayangan jumlah langsung karangan bunga sederhana hingga takhingga kontinu multiplikatif aditif siklik Abel dihedral nilpoten terselesaikan aksi Glosarium teori grup Daftar topik teori grup
Grup hingga Klasifikasi grup sederhana hingga siklik bergantian tipe Lie sporadik Teorema Cauchy Teorema Lagrange Teorema Sylow Teorema Hall grup-p Grup Abel elementer Grup Frobenius Pengganda Schur Grup simetrik S n {\displaystyle \mathrm {S} _{n}} Grup Klein V {\displaystyle \mathrm {V} } Grup dihedral D n {\displaystyle \mathrm {D} _{n}} Grup kuaternion Q {\displaystyle \mathrm {Q} } Grup disiklik D i c n {\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}}
Grup diskret Kekisi Bilangan bulat ( Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) Grup bebas Grup modular P S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )} S L ( 2 , Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )} Grup aritmetika Kekisi Grup hiperbolik
Topologis dan Grup Lie Solenoid Lingkaran Linear umum G L ( n ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n)} Linear khusus S L ( n ) {\displaystyle \mathrm {SL} (n)} Ortogonal O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} Euklides E ( n ) {\displaystyle \mathrm {E} (n)} Ortogonal khusus S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} Uner U ( n ) {\displaystyle \mathrm {U} (n)} Uniter khusus S U ( n ) {\displaystyle \mathrm {SU} (n)} Simplektik S p ( n ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (n)} G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré konformal Difeomorfisme Gelung Grup Lie berdimensi takhingga O ( ∞ ) {\displaystyle O(\infty )} S U ( ∞ ) {\displaystyle \mathrm {SU} (\infty )} S p ( ∞ ) {\displaystyle \mathrm {Sp} (\infty )}
Grup aljabar Grup aljabar linear Grup reduktif Varietas Abel Kurva eliptik
l b s

Grup hasil bagi adalah grup, yang menggunakan konstruksi standar dari grup tertentu G {\displaystyle G} dengan bantuan sebagai pembagi normal N ⊴ G {\displaystyle N\trianglelefteq G} terbentuk. Maka dilambangkan dengan G / N {\displaystyle G/N} dan merupakan himpunan dari kelas minor.

Konstruksi

Elemen-elemen dari G / N {\displaystyle G/N} adalah kelas minor sehubungan dengan N {\displaystyle N} , maka

G / N := { g N : g ∈ G } {\displaystyle G/N:=\{gN:g\in G\}} .

Koneksi batin ∘ : G / N × G / N → G / N {\displaystyle \circ \colon G/N\times G/N\rightarrow G/N} didefinisikan sebagai:

( g N ) ∘ ( h N ) := ( g h ) N {\displaystyle (gN)\circ (hN):=(gh)N} .

Dengan bantuan properti pembagi normal N {\displaystyle N} seseorang dapat menunjukkan bahwa tautan ini adalah terdefinisi dengan baik dan ( G / N ,   c i r c ) {\displaystyle (G/N,\ circ)} adalah grup. Grup ini disebut grup hasil bagi dari G {\displaystyle G} hingga N {\displaystyle N} . Elemen netral dari G / N {\displaystyle G/N} adalah N {\displaystyle N} dan elemen terbalik ke g N {\displaystyle gN} diberikan g − 1 N {\displaystyle g^{-1}N} .

Produk ( g N ) ∘ ( h N ) = ( g h ) N {\displaystyle (gN)\circ (hN)=(gh)N} setuju dengan produk kompleks ( g N ) ⋅ ( h N ) {\displaystyle (gN)\cdot (hN)} pertandingan. Sebaliknya, seseorang dapat menunjukkan bahwa subgrup U {\displaystyle U} dari sebuah grup ( G , ⋅ ) {\displaystyle (G,\cdot )} adalah pembagi normal, jika untuk semua g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} persamaan ( g U ) ⋅ ( h U ) = ( g h ) U {\displaystyle (gU)\cdot (hU)=(gh)U} .

Dalam grup abelian setiap subgrup adalah subgrup normal. Jadi, setelah setiap subgrup, dapat dibentuk kelompok faktor di sana, yang selanjutnya adalah Abelian.

urutan dari grup faktor G / N {\displaystyle G/N} tepatnya adalah jumlah kelas sekunder dari N {\displaystyle N} . Angka ini disebut Indeks oleh N {\displaystyle N} pada G {\displaystyle G} dan dengan ( G : N ) {\displaystyle (G:N)} ditunjuk. Jika G {\displaystyle G} adalah grup berhingga, maka berdasarkan Teorema Lagrange ( G : N ) = | G / N | = | G | | N | {\displaystyle (G:N)=|G/N|={\tfrac {|G|}{|N|}}} .

Bilangan bulat genap dan ganjil

Pertimbangkan grup bilangan bulat Z (di bawah tambahan) dan subgrup 2Z yang terdiri dari semua integer genap. Ini adalah subgrup normal, karena Z adalah abelian. Hanya ada dua koset: himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil, dan oleh karena itu grup hasil bagi Z/2Z adalah grup siklik dengan dua elemen. Kelompok hasil bagi ini isomorfik dengan himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2; secara informal, kadang-kadang dikatakan demikian Z/2Z memadai himpunan {0,1} dengan tambahan modulo 2.

Contoh dijelaskan lebih lanjut...

Maka γ ( m ) = {\displaystyle \gamma (m)=} sisa dari m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } saat membagi dengan 2 {\displaystyle 2} .
Kemudian γ ( m ) = 0 {\displaystyle \gamma (m)=0} jika m {\displaystyle m} adalah genap dan γ ( m ) = 1 {\displaystyle \gamma (m)=1} when m {\displaystyle m} adalah ganjil.
Menurut definisi γ {\displaystyle \gamma } , inti dari γ {\displaystyle \gamma } ,
ker( γ {\displaystyle \gamma } ) = { m ∈ Z : γ ( m ) = 0 } {\displaystyle =\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}} , adalah himpunan dari semua bilangan bulat genap.
Maka H = {\displaystyle H=} ker( γ {\displaystyle \gamma } ).
Kemudian H {\displaystyle H} adalah subgrup, karena identitasnya di Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , which is 0 {\displaystyle 0} , dalam H {\displaystyle H} ,
jumlah dari dua integer genap adalah genap dan karenanya jika m {\displaystyle m} dan n {\displaystyle n} berada di H {\displaystyle H} , m + n {\displaystyle m+n} dalam H {\displaystyle H} (penutupan)
dan jika m {\displaystyle m} genap, − m {\displaystyle -m} juga genap dan H {\displaystyle H} berisi inversnya.
Menetapkan μ : {\displaystyle \mu :} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } / H → Z 2 {\displaystyle \to \mathbb {Z} _{2}} sebagai μ ( a H ) = γ ( a ) {\displaystyle \mu (aH)=\gamma (a)} ke a ∈ Z {\displaystyle a\in \mathbb {Z} }
dan Z {\displaystyle \mathbb {Z} } / H adalah grup hasil bagi dari koset kiri; Z {\displaystyle \mathbb {Z} } / H = { H , 1 + H } {\displaystyle =\{H,1+H\}} .
Dengan cara yang telah kami tentukan μ {\displaystyle \mu } , μ ( a H ) {\displaystyle \mu (aH)} adalah 1 {\displaystyle 1} jika a {\displaystyle a} ganjil dan 0 {\displaystyle 0} jika a {\displaystyle a} genap.
Jadi, μ {\displaystyle \mu } adalah isomorfisme dari Z {\displaystyle \mathbb {Z} } / H ke Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} .

Quotients dari grup Lie

Jika G {\displaystyle G} adalah grup lie dan N {\displaystyle N} adalah subgrup Lie normal G {\displaystyle G} , hasil bagi G {\displaystyle G} / N {\displaystyle N} juga merupakan grup Lie. Dalam kasus ini, grup asli G {\displaystyle G} memiliki struktur sebuah fiber bundle (khususnya, sebuah utama N {\displaystyle N} -bundel), dengan ruang dasar G {\displaystyle G} / N {\displaystyle N} dan serat N {\displaystyle N} .

Untuk subgruo Lie non-normal N {\displaystyle N} , ruang G {\displaystyle G} / N {\displaystyle N} dari coset kiri bukanlah sebuah grup, tetapi hanya sebuah lipatan yang dapat dibedakan di mana G {\displaystyle G} bertindak. Hasilnya dikenal sebagai ruang homogen.

Jika subgrup N {\displaystyle N} ditutup (dalam arti topologi daripada aljabar kata tersebut), kemudian dimensi kelompok Lie atau ruang homogen G {\displaystyle G} / N {\displaystyle N} banding d i m   G − d i m   N {\displaystyle \mathrm {dim} \ G-\mathrm {dim} \ N} .^[1]

Sifat universal dari grup hasil bagi

Jika H {\displaystyle H} adalah pembagi normal dari G {\displaystyle G} , maka pemetaannya adalah π : G → G / H {\displaystyle \pi \colon G\rightarrow G/H} dengan g ↦ g H {\displaystyle g\mapsto gH} dengan kernel H {\displaystyle H} a epimorphism, jadi subjektif homomorfisme. Sifat universal sekarang mengatakan, bahwa untuk setiap homomorfisme grup φ : G → G ′ {\displaystyle \varphi \colon G\rightarrow G'} mit H ⊆ k e r ( φ ) {\displaystyle H\subseteq ker(\varphi )} persis satu grup homomorfisme φ ′ : G / H → G ′ {\displaystyle \varphi '\colon G/H\rightarrow G'} mit φ = φ ′ ∘ π {\displaystyle \varphi =\varphi '\circ \pi } existiert.

Contoh: jika π : Z → Z / 6 Z {\displaystyle \pi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} } proyeksi natural dari bilangan bulat ke kelas sisa modulo 6. Maka φ : Z → Z / 3 Z {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } Homomorfisme grup. Lalu grup lie 6 Z {\displaystyle 6\mathbb {Z} } pada inti φ {\displaystyle \varphi } dan φ ′ : Z / 6 Z → Z / 3 Z {\displaystyle \varphi '\colon \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } menghasilkan:

φ ′ ( [ 0 ] 6 ) = [ 0 ] 3 {\displaystyle \varphi '([0]_{6})=[0]_{3}}

φ ′ ( [ 1 ] 6 ) = [ 1 ] 3 {\displaystyle \varphi '([1]_{6})=[1]_{3}}

φ ′ ( [ 2 ] 6 ) = [ 2 ] 3 {\displaystyle \varphi '([2]_{6})=[2]_{3}}

φ ′ ( [ 3 ] 6 ) = [ 0 ] 3 {\displaystyle \varphi '([3]_{6})=[0]_{3}}

φ ′ ( [ 4 ] 6 ) = [ 1 ] 3 {\displaystyle \varphi '([4]_{6})=[1]_{3}}

φ ′ ( [ 5 ] 6 ) = [ 2 ] 3 {\displaystyle \varphi '([5]_{6})=[2]_{3}} .

Lihat pula

• Ekstensi grup
• Kategori hasil bagi
• Urutan persis pendek

Catatan

Referensi

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2003), Abstract Algebra (Edisi 3rd), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-43334-7
• Herstein, I. N. (1975), Topics in Algebra (Edisi 2nd), New York: Wiley, ISBN 0-471-02371-X