%E2%81%B4.png)
Dalam aljabar, binomial adalah suatu polinomial yang merupakan salah satu jumlah dari dua suku yang masing-masingnya merupakan monomial.[1] Binomial merupakan jenis polinomial rongga sederhana setelah monomial.
Definisi
Suatu binomial adalah polinomial yang merupakan salah satu penjumlahan dari dua monomial. Suatu binomial dalam bentuk tak tentu tunggal (atau juga dikenal sebagai binomial univariat) dapat ditulis sebagai
a
x
m
−
b
x
n
,
{\displaystyle ax^{m}-bx^{n},}
Secara umum, binomial ditulis[2] sebagai:
a
x
1
n
1
⋯
x
i
n
i
−
b
x
1
m
1
⋯
x
i
m
i
{\displaystyle ax_{1}^{n_{1}}\dotsb x_{i}^{n_{i}}-bx_{1}^{m_{1}}\dotsb x_{i}^{m_{i}}}
Operasi pada binomial sederhana
- Binomial
x
2
−
y
2
{\displaystyle x^{2}-y^{2}}
dapat difaktorkan sebagai hasil kali dari dua binomial lainnya: x 2 − y 2 = ( x − y ) ( x + y ) . {\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).}
Terdapat bentuk khusus, yang merupakan rumus yang diperumum: x n + 1 − y n + 1 = ( x − y ) ∑ k = 0 n x k y n − k . {\displaystyle x^{n+1}-y^{n+1}=(x-y)\sum _{k=0}^{n}x^{k}\,y^{n-k}.}
- Saat mengerjakan dalam bilangan kompleks, binomual juga dapat diperluas ke:
x
2
+
y
2
=
x
2
−
(
i
y
)
2
=
(
x
−
i
y
)
(
x
+
i
y
)
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=x^{2}-(iy)^{2}=(x-iy)(x+iy).}
- Hasil kali dari pasangan binomial linear
(
a
x
+
b
)
{\displaystyle (ax+b)}
dan ( c x + d ) {\displaystyle (cx+d)}
adalah trinomial: ( a x + b ) ( c x + d ) = a c x 2 + ( a d + b c ) x + b d . {\displaystyle (ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd.}
- Binomial yang dipangkatkan ke-
n
{\displaystyle n}
. Bentuk ini dapat diperluas dengan menggunakan teorema binomial, atau secara ekuivalen, menggunakan segitiga Pascal. Sebagai contoh, binomial ( x + y ″ ) {\displaystyle (x+y'')}
dikuadratkan, yaitu ( x + y ) 2 {\displaystyle (x+y)^{2}}
, sama dengan jumlah kuadrat dari kedua suku dan dua kali lipat produk dari penyebutannya, yaitu:
-
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
.
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}
-
(
x
+
y
)
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
.
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.}
- Bilangan (1, 2, 1) yang muncul sebagai penggali untuk suku-suku dalam perluasan tersebut merupakan koefisien binomial dari dua baris ke bawah dari bagian atas segitiga Pascal. Perluasan dari perpangkatan ke-
n
{\displaystyle n}
- Penerapan rumus di atas untuk kuadrat binomial adalah rumus-"
(
m
,
n
)
{\displaystyle (m,n)}
" untuk menghasilkan rangkap tiga Pythagoras:
- Untuk
m
<
n
{\displaystyle m<n}
, misalkan a = n 2 − m 2 {\displaystyle a=n^{2}-m^{2}}
, b = 2 m n {\displaystyle b=2mn}
, and c = n 2 + m 2 {\displaystyle c=n^{2}+m^{2}}
; maka a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
.
- Binomial yang merupakan jumlah atau selisih pangkat tiga dapat difaktorkan menjadi polinomial berderajat rendah sebagai berikut:
x
3
+
y
3
=
(
x
+
y
)
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
{\displaystyle x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})}
x 3 − y 3 = ( x − y ) ( x 2 + x y + y 2 ) {\displaystyle x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})}
Lihat pula
- Distribusi binomial
- Daftar topik faktorial dan binomial (yang berisi banyak pranala yang berkaitan)
Catatan
- ↑ Weisstein, Eric. "Binomial". Wolfram MathWorld. Diakses tanggal 29 Maret 2011.
- ↑ Sturmfels, Bernd (2002). Solving Systems of Polynomial Equations. Vol. 97. American Mathematical Society. hlm. 62. ISBN 9780821889411.
{{cite book}}:|journal=diabaikan
Referensi
- Bostock, L.; Chandler, S. (1978). Pure Mathematics 1. Oxford University Press. hlm. 36. ISBN 0-85950-092-6.
Polinomial beserta fungsinya | |
|---|---|
| Berdasarkan derajat | |
| Berdasarkan sifat | |
| Alat dan algoritma | |