Perubahan basis

Perubahan koordinat di aljabar linearTemplat:SHORTDESC:Perubahan koordinat di aljabar linear

Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi n {\displaystyle n} $n$ dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan n {\displaystyle n} $n$ -skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen v {\displaystyle v} $v$ atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, tetapi atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.^[1]^[2]^[3]

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai

x l a m a = A x b a r u , {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {lama} }=\mathbf {A} \,\mathbf {x} _{\mathrm {baru} },} $\mathbf {x} _{\mathrm {lama} }=\mathbf {A} \,\mathbf {x} _{\mathrm {baru} },$

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, x l a m a {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {lama} }} $\mathbf {x} _{\mathrm {lama} }$ dan x b a r u {\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {baru} }} $\mathbf {x} _{\mathrm {baru} }$ adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

Contoh

Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides R 2 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{2},} $\mathbb {R} ^{2},$ yang dihasilkan dari rotasi sebesar t . {\displaystyle t.} $t.$ Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar v 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,0)} $\mathbf {v} _{1}=(1,0)$ dan v 2 = ( 0 , 1 ) ; {\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,1);} $\mathbf {v} _{2}=(0,1);$ sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi w 1 = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) {\displaystyle \mathbf {w} _{1}=(\cos t,\,\sin t)} $\mathbf {w} _{1}=(\cos t,\,\sin t)$ dan w 2 = ( − sin ⁡ t , cos ⁡ t ) ; {\displaystyle \mathbf {w} _{2}=(-\sin t,\,\cos t);} $\mathbf {w} _{2}=(-\sin t,\,\cos t);$ sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai [ cos ⁡ t − sin ⁡ t sin ⁡ t cos ⁡ t ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.} ${\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.$ Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika ( y 1 , y 2 ) {\textstyle (y_{1},\,y_{2})} ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat ( x 1 , x 2 ) , {\displaystyle (x_{1},\,x_{2}),} $(x_{1},\,x_{2}),$ maka

[ x 1 x 2 ] = [ cos ⁡ t − sin ⁡ t sin ⁡ t cos ⁡ t ] [ y 1 y 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.} ${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.$

Sehingga,

x 1 = y 1 cos ⁡ t − y 2 sin ⁡ t dan x 2 = y 1 sin ⁡ t + y 2 cos ⁡ t . {\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{dan}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.} $x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{dan}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.$

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle (x_{1},\,x_{2})} $(x_{1},\,x_{2})$ dan ( y 1 , y 2 ) {\textstyle (y_{1},\,y_{2})} ${\textstyle (y_{1},\,y_{2})}$ merujuk pada objek yang sama,

x 1 v 1 + x 2 v 2 = ( y 1 cos ⁡ t − y 2 sin ⁡ t ) v 1 + ( y 1 sin ⁡ t + y 2 cos ⁡ t ) v 2 = y 1 ( cos ⁡ ( t ) v 1 + sin ⁡ ( t ) v 2 ) + y 2 ( − sin ⁡ ( t ) v 1 + cos ⁡ ( t ) v 2 ) = y 1 w 1 + y 2 w 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)\mathbf {v} _{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)\mathbf {v} _{2}\\&=y_{1}(\cos(t)\mathbf {v} _{1}+\sin(t)\mathbf {v} _{2})+y_{2}(-\sin(t)\mathbf {v} _{1}+\cos(t)\mathbf {v} _{2})\\&=y_{1}\mathbf {w} _{1}+y_{2}\mathbf {w} _{2}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}x_{1}\mathbf {v} _{1}+x_{2}\mathbf {v} _{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)\mathbf {v} _{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)\mathbf {v} _{2}\\&=y_{1}(\cos(t)\mathbf {v} _{1}+\sin(t)\mathbf {v} _{2})+y_{2}(-\sin(t)\mathbf {v} _{1}+\cos(t)\mathbf {v} _{2})\\&=y_{1}\mathbf {w} _{1}+y_{2}\mathbf {w} _{2}.\end{aligned}}$

Rumus perubahan basis

Misalkan B l a m a = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle B_{\mathrm {lama} }=(\mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{n})} $B_{\mathrm {lama} }=(\mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{n})$ adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga V atas suatu lapangan F.^[a] Seorang dapat mendefinisikan n {\displaystyle n} $n$ elemen baru w j {\displaystyle \mathbf {w} _{j}} $\mathbf {w} _{j}$ (dengan j = 1 , … , n {\displaystyle j=1,\,\dots ,\,n} $j=1,\,\dots ,\,n$ ) berdasarkan koordinat vektor tersebut a i , j {\displaystyle a_{i,j}} $a_{i,j}$ , atas B l a m a : {\displaystyle B_{\mathrm {lama} }\colon } $B_{\mathrm {lama} }\colon$

w j = ∑ i = 1 n a i , j v i . {\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.} $\mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.$

Misalkan

A = ( a i , j ) i , j {\displaystyle \mathbf {A} =\left(a_{i,j}\right)_{i,j}} $\mathbf {A} =\left(a_{i,j}\right)_{i,j}$

sebagai matriks yang kolom ke-j-nya dibentuk dari koordinat w j {\displaystyle \mathbf {w} _{j}} $\mathbf {w} _{j}$ . (Di bagian ini dan seterusnya, indeks i selalu digunakan untuk merujuk baris di A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dan v i , {\displaystyle \mathbf {v} _{i},} $\mathbf {v} _{i},$ sedangkan indeks j selalu digunakan untuk merujuk kolom di A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ dan w j ; {\displaystyle \mathbf {w} _{j};} $\mathbf {w} _{j};$ konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut B b a r u = ( w 1 , … , w n ) {\displaystyle B_{\mathrm {baru} }=(\mathbf {w} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {w} _{n})} $B_{\mathrm {baru} }=(\mathbf {w} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {w} _{n})$ disebut basis dari V jika dan hanya jika matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, A {\displaystyle \mathbf {A} } $\mathbf {A}$ disebut matriks perubahan basis dari basis B l a m a {\displaystyle B_{\mathrm {lama} }} $B_{\mathrm {lama} }$ ke basis B b a r u {\displaystyle B_{\mathrm {baru} }} $B_{\mathrm {baru} }$ .

Untuk sebarang elemen z ∈ V , {\displaystyle \mathbf {z} \in V,} $\mathbf {z} \in V,$ misalkan ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})} $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ adalah koordinat z {\displaystyle \mathbf {z} } $\mathbf {z}$ atas B l a m a {\displaystyle B_{\mathrm {lama} }} $B_{\mathrm {lama} }$ , dan ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})} $(y_{1},\ldots ,y_{n})$ adalah koordinatnya atas B b a r u {\displaystyle B_{\mathrm {baru} }} $B_{\mathrm {baru} }$ , kita memiliki hubungan z = ∑ i = 1 n x i v i = ∑ j = 1 n y j w j . {\displaystyle \mathbf {z} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}.} $\mathbf {z} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}.$ Dengan menjabarkan hubungan tersebut, z = ∑ j = 1 n y j w j = ∑ j = 1 n ( y j ∑ i = 1 n a i , j v i ) = ∑ i = 1 n ( ∑ j = 1 n a i , j y j ) v i . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {z} &=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)\mathbf {v} _{i}.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\mathbf {z} &=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)\mathbf {v} _{i}.\end{aligned}}$ kita dapatkan x i = ∑ j = 1 n a i , j y j untuk i = 1 , … , n . {\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{untuk }}i=1,\,\ldots ,\,n.} $x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{untuk }}i=1,\,\ldots ,\,n.$ Dalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalah x = A y , {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \,\mathbf {y} ,} $\mathbf {x} =\mathbf {A} \,\mathbf {y} ,$ dengan x {\displaystyle \mathbf {x} } $\mathbf {x}$ dan y {\displaystyle \mathbf {y} } $\mathbf {y}$ masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat z {\displaystyle \mathbf {z} } $\mathbf {z}$ atas s B l a m a {\displaystyle B_{\mathrm {lama} }} $B_{\mathrm {lama} }$ dan atas B b a r u {\displaystyle B_{\mathrm {baru} }} $B_{\mathrm {baru} }$ .

Catatan kaki

↑ Walaupun basis umumnya dinyatakan sebagai himpunan elemen (sebagai contoh, sebagai himpunan merentang (spanning) yang saling bebas linear), notasi rangkap (tuple) nyaman digunakan karena membuat basis sebagai sebuah basis terurut, yang selanjutnya membuat konsep koordinat lebih mudah digunakan.

Referensi

↑ Anton (1987, hlm. 221–237)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, hlm. 240–243)
↑ Nering (1970, hlm. 50–52)

Daftar pustaka

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (Edisi 5th), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0

Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X

Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (Edisi 2nd), New York: Wiley, LCCN 76091646

Pranala luar

MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis oleh MIT OpenCourseWare

Khan Academy Lecture on Change of Basis oleh Khan Academy

l b s Aljabar linear
Konsep dasar	Skalar Vektor Ruang vektor Perkalian skalar Perkalian titik Perkalian silang Proyeksi vektor Rentang linear Peta linear Proyeksi linear Kebebasan linear Kombinasi linear Basis Vektor kolom dan baris Ruang kolom dan baris Keortogonalan Kernel Nilai eigen dan vektor eigen Hasil kali luar Ruang hasil kali dalam Transpos Proses Gram–Schmidt Persamaan linear
Aljabar vektor	Hasil kali silang Hasil kali tripel Hasil kali silang tujuh dimensi
Aljabar multilinear	Aljabar geometri Aljabar eksterior Bivektor Multivektor Tensor Morfisme luar
Matriks	Blok Penguraian Dapat dibalik Minor Perkalian Rank Transformasi Aturan Cramer Eliminasi Gauss Determinan
Konstruksi aljabar	Dual Hasil kali tensor Jumlah langsung Kuosien Ruang fungsi Subruang
Numerik	Floating-point Stabilitas numerik Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS) Matriks rongga Perbandingan pustaka aljabar linear Perbandingan perangkat lunak analisis numerik
Kategori Garis besar Portal matematika Wikibuku