Kardinalitas

Dalam matematika, kardinalitas suatu himpunan dapat dipandang sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut. Untuk himpunan hingga, yakni apabila anggota-anggotanya dapat disusun dalam barisan hingga, maka kardinalitasnya adalah panjang barisan tersebut. Dengan kata lain, kardinalitasnya adalah banyak anggota himpunan tersebut. Banyak anggota dari himpunan kosong adalah nol.

Perumuman konsep ini pada himpunan takhingga didasari pada relasi kesepadanan: dua himpunan dikatakan sepadan apabila ada pemadanan atau korespondensi satu-satu dari satu himpunan ke himpunan lainnya. Sebagai contoh, suatu himpunan takhingga dikatakan himpunan terhitung apabila ada bijeksi dari himpunan tersebut ke himpunan bilangan bulat.

Kardinalitas himpunan hingga

Kardinalitas suatu himpunan hingga adalah banyak anggota dari himpunan tersebut. Kardinalitas dapat dilambangkan dengan | X | {\displaystyle |X|} $|X|$ ,^[1]^[2] # X {\displaystyle \#X} $\#X$ ,^[3] atau n ( X ) {\displaystyle n(X)} $n(X)$ .^[4] Sebagai contoh, untuk himpunan A = { 1 , 22 , 333 , 444 } {\displaystyle A=\{1,22,333,444\}} $A=\{1,22,333,444\}$ dapat kita tulis | A | = 4 {\displaystyle |A|=4} $|A|=4$ .

Kardinalitas himpunan kuasa dari suatu himpunan hingga dengan kardinalitas n {\displaystyle n} $n$ adalah 2 n {\displaystyle 2^{n}} $2^{n}$ .

Himpunan singelton adalah himpunan yang kardinalitasnya sama dengan satu.

Kardinalitas himpunan terbilang

Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan terbilang, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh 2 n {\displaystyle 2n\,} $2n\,$ .

A = { 2 , 4 , 6 , 8 , . . . } {\displaystyle A=\{2,\,4,\,6,\,8,\,...\}} $A=\{2,\,4,\,6,\,8,\,...\}$

Himpunan sepadan

Misalkan A {\displaystyle A} $A$ himpunan buah-buahan A = { a p e l , j e r u k , m a n g g a , p i s a n g } {\displaystyle A=\{apel,jeruk,mangga,pisang\}} $A=\{apel,jeruk,mangga,pisang\}$ , banyak anggota anggota A {\displaystyle A} $A$ adalah 4. Misalkan juga B {\displaystyle B} $B$ Himpunan huruf B = { p , q , r , s } {\displaystyle B=\{p,q,r,s\}} $B=\{p,q,r,s\}$ , himpunan B {\displaystyle B} $B$ juga memiliki anggota sebanyak 4. Kedua himpunan mempunyai banyak anggota yang sama, artinya kedua himpunan tersebut sepadan atau ekivalen satu sama lain; atau memiliki kardinalitas yang sama.

Secara formal, dua himpunan dikatakan sepadan apabila ada fungsi satu-satu pada yang memetakan A pada B. Karena terdapat fungsi satu-satu dan pada yang memetakan A {\displaystyle A} $A$ pada B {\displaystyle B} $B$ , seperti { ( a p e l , p ) , ( j e r u k , q ) , ( m a n g g a , r ) , ( p i s a n g , s ) } {\displaystyle \{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}} $\{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}$ , maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.

Rujukan

↑ Marsudi (2010). Logika dan Teori Himpunan. Malang: Universitas Brawijaya Press. ISBN 978-979-8074-51-6.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Richard., Hammack,. Book of Proof. ISBN 978-0-9894721-0-4. OCLC 1090382616.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link) Pemeliharaan CS1: Tanda baca tambahan (link)
↑ Witte., Morris, Dave. Proofs and concepts : the fundamentals of abstract mathematics. OCLC 961479228.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link)
↑ Hakim., Nasoetion, Andi (1982). Landasan matematika. Bhratara Karya Aksara. OCLC 974924773.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link)

l b s Teori himpunan
Umum	Himpunan (matematika)
Aksioma	Adjungsi Batas ukuran Determinasi Gabungan Himpunan kuasa Keberaturan Kebisadibangunan (V=L) Perluasan Pasangan Pemilihan tercacah terikat global Takhingga Aksioma Martin Skema aksioma penggantian spesifikasi
Operasi	Gabungan Gabungan lepas Himpunan kuasa Hukum De Morgan Irisan Komplemen Produk Kartesius Selisih himpunan Beda setangkup
Konsep Metode	Argumen diagonal Bilangan kardinal (besar) Bilangan ordinal Diagram Venn Elemen pasangan terurut rangkap Hipotesis kontinum Induksi lintas-hingga Kardinalitas Kelas Keluarga Korespondensi satu-ke-satu Pemaksaan Semesta yang bisa dibangun
Jenis himpunan	Himpunan bagian · Superhimpunan Berhingga (turun-temurun) Takhingga (takhingga Dedekind) Kabur Kosong Rekursif Semesta Tercacah Tak tercacah Transitif
Teori	Aksiomatik Alternatif Naif Teorema Cantor Zermelo Umum Principia Mathematica New Foundations (NF, NFU) Zermelo–Fraenkel (ZFC) von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoks Masalah	Paradoks Russell Masalah Suslin Paradoks Burali-Forti
Teoretisi himpunan	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine