Limit invers

Dalam matematika, limit invers (bahasa Inggris:inverse limit), atau disebut juga sebagai limit proyektif (bahasa Inggris:projective limit) adalah konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk "merekatkan" beberapa objek terkait, cara yang tepat dari proses perekatan yang ditentukan dengan morfisme di antara objek. Limit invers dapat didefinisikan dalam kategori, dan merupakan kasus khusus dari konsep limit dalam teori kategori.

Objek aljabar

Pemahaman terkait limit invers dimulai dengan definisi sistem invers (atau sistem proyektif) dari grup dan homomorfisme. Misalkan ( I, ≤) adalah poset terarah atau (tidak semua penulis memerlukan I untuk diarahkan). Misalkan A_• = (A_i)_{i ∈ I} adalah keluarga dari kelompok dan misalkan diperoleh keluarga homomorfisme f i j : A j → A i {\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}} $f_{ij}:A_{j}\to A_{i}$ untuk semua i ≤ j {\displaystyle i\leq j} $i\leq j$ (perhatikan urutannya), dengan sifat berikut:

f i i {\displaystyle f_{ii}} $f_{ii}$ adalah identitas pada A i {\displaystyle A_{i}} $A_{i}$ ,
f i k = f i j ∘ f j k {\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}} $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$ untuk semua i ≤ j ≤ k {\displaystyle i\leq j\leq k} $i\leq j\leq k$ .

Maka pasangan ( A ∙ , ( f i j ) i ≤ j ∈ I ) {\displaystyle \left(A_{\bullet },\left(f_{ij}\right)_{i\leq j\in I}\right)} $\left(A_{\bullet },\left(f_{ij}\right)_{i\leq j\in I}\right)$ disebut sistem invers dari grup dan morfisme atas I {\displaystyle I} $I$ , dan morfisme f i j {\displaystyle f_{ij}} $f_{ij}$ disebut morfisme peralihan dari sistem.

Limit invers dari sistem invers ( ( A i ) i ∈ I , ( f i j ) i ≤ j ∈ I ) {\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})} $((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})$ didefinisikan sebagai subgrup tertentu dari darab langsung dari A i {\displaystyle A_{i}} $A_{i}$ :

A = lim ← i ∈ I ⁡ A i = { a → ∈ ∏ i ∈ I A i | a i = f i j ( a j ) untuk semua i ≤ j in I } . {\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ untuk semua }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.} $A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ untuk semua }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.$

Limit invers A {\displaystyle A} $A$ dilengkapi dengan proyeksi alami (bahasa Inggris:natural projections) π i : A → A i {\displaystyle \pi _{i}\colon A\to A_{i}} $\pi _{i}\colon A\to A_{i}$ yang memilih komponen dari darab langsung ke- i {\displaystyle i} $i$ untuk setiap i {\displaystyle i} $i$ di I {\displaystyle I} $I$ .

Konstruksi yang sama dapat dilakukan jika A i {\displaystyle A_{i}} $A_{i}$ adalah himpunan,^[1] semigrup,^[1] ruang topologi,^[1] gelanggang, modul (atas fixed ring), aljabar (atas fixed ring), dsb,. dan homomorfisme adalah morfisme dalam kategori padanan. Limit invers juga merupakan bagian dalam kategori tersebut.

Definisi umum

Sama seperti definisi sebelumnya, limit invers dapat didefinisikan secara abstrak dalam kategori sebarang dengan menggunakan sifat universal. Misalkan ( X i , f i j ) {\displaystyle (X_{i},f_{ij})} $(X_{i},f_{ij})$ adalah sistem invers dari objek dan morfisme di kategori C {\displaystyle C} $C$ . Limit invers dari sistem invers merupakan objek X {\displaystyle X} $X$ di C {\displaystyle C} $C$ dan juga dengan morfisme π i : X → X i {\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}} $\pi _{i}\colon X\to X_{i}$ (yang disebut proyeksi) memenuhi sifat π i = f i j ∘ π j {\displaystyle \pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}} $\pi _{i}=f_{ij}\circ \pi _{j}$ untuk semua i ≤ j {\displaystyle i\leq j} $i\leq j$ . Pasangan ( X , π i ) {\displaystyle (X,\pi _{i})} $(X,\pi _{i})$ harus universal, dalam artian bahwa untuk setiap pasangan lain ( Y , ψ i ) {\displaystyle (Y,\psi _{i})} $(Y,\psi _{i})$ , maka ada morfisme unik u : Y → X {\displaystyle u:Y\to X} $u:Y\to X$ sehingga diagram berikut

InverseLimit-01.png?utm_source=id.wikipedia.org&utm_campaign=parser&utm_content=thumbnail_unscaled

komutatif untuk setiap i ≤ j {\displaystyle i\leq j} $i\leq j$ . Jadi, limit invers sering kali dinyatakan sebagai

X = lim ← ⁡ X i {\displaystyle X=\varprojlim X_{i}} $X=\varprojlim X_{i}$

dengan sistem invers (X_i, f_ij).

Limit invers dari sistem invers tertentu tidak ada dalam beberapa kategori. Namun jika ada, maka dikatakan unik dalam pernyataan kuat berikut: diberikan dua limit invers X dan X₂ dari sistem invers, maka terdapat isomorfisme unik X ′ → X {\displaystyle X'\to X} $X'\to X$ yang bersifat komutatif dengan peta proyeksi.

Fungtor yang diturunkan dari limit invers

Untuk suatu kategori Abel C {\displaystyle C} $C$ , fungtor limit invers

lim ← : C I → C {\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C} $\varprojlim :C^{I}\rightarrow C$

eksak kiri. Jika I {\displaystyle I} $I$ terurut (tidak hanya terurut sebagian) dan terhitung, dan C {\displaystyle C} $C$ adalah kategori Ab {\displaystyle \operatorname {Ab} } $\operatorname {Ab}$ dari grup Abel, maka syarat Mittag-Leffler adalah syarat pada morfisme pengalihan f i j {\displaystyle f_{ij}} $f_{ij}$ yang menjamin ketepatan lim ← {\displaystyle \varprojlim } $\varprojlim$ . Secara khusus, Eilenberg mengonstruksi suatu fungsi

lim ← ⁡ 1 : Ab I → Ab {\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} } $\varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab}$

sehingga jika ( A i . f i j ) {\displaystyle (A_{i}.f_{ij})} $(A_{i}.f_{ij})$ , ( B i . g i j ) {\displaystyle (B_{i}.g_{ij})} $(B_{i}.g_{ij})$ , dan ( C i . h i j ) {\displaystyle (C_{i}.h_{ij})} $(C_{i}.h_{ij})$ adalah tiga sistem invers dari grup Abel, dan

0 → A i → B i → C i → 0 {\displaystyle 0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0} $0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0$

adalah barisan eksak pendek dari sistem invers, maka

0 → lim ← ⁡ A i → lim ← ⁡ B i → lim ← ⁡ C i → lim ← ⁡ 1 A i {\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}} $0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}$