Barisan dan deret geometri

Barisan dan deret geometri atau dikenal sebagai barisan dan deret ukur dalam bidang matematika adalah jenis barisan dan deret di mana bilangan berikutnya merupakan perkalian dari bilangan sebelumnya dengan suatu bilangan rasio tertentu. Dengan kata lain, suatu barisan geometri hasil bagi atau rasio setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama.^[1]

Barisan geometri dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

a {\displaystyle a} $a$ , a r {\displaystyle ar} $ar$ , a r 2 {\displaystyle ar^{2}} $ar^{2}$ , a r 3 {\displaystyle ar^{3}} $ar^{3}$ , … {\displaystyle \dots } $\dots$

dengan r {\displaystyle r} $r$ adalah bilangan rasio pengali ( r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} $r\neq 0$ ) dan a {\displaystyle a} $a$ adalah faktor skala.

Suku barisan geometri

Misal a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ adalah suku barisan geometri. Pada barisan di atas, dapat kita rumuskan sebagai

a n = a r n − 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}} $a_{n}=ar^{n-1}$

Bukti
Kita misalkan a 1 = a {\displaystyle a_{1}=a} $a_{1}=a$ , dan a 2 = a r {\displaystyle a_{2}=ar} $a_{2}=ar$ . Kita teruskan untuk a 3 , a 4 , … {\displaystyle a_{3},a_{4},\dots } $a_{3},a_{4},\dots$ . a 3 = a r 2 a 4 = a r 3 a 5 = a r 4 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}a_{3}&=ar^{2}\\a_{4}&=ar^{3}\\a_{5}&=ar^{4}\\&\vdots \end{aligned}}} ${\begin{aligned}a_{3}&=ar^{2}\\a_{4}&=ar^{3}\\a_{5}&=ar^{4}\\&\vdots \end{aligned}}$ Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu a n = a r n − 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}} $a_{n}=ar^{n-1}$ .^[1]

Bukti

Kita misalkan a 1 = a {\displaystyle a_{1}=a} $a_{1}=a$ , dan a 2 = a r {\displaystyle a_{2}=ar} $a_{2}=ar$ . Kita teruskan untuk a 3 , a 4 , … {\displaystyle a_{3},a_{4},\dots } $a_{3},a_{4},\dots$ .

a 3 = a r 2 a 4 = a r 3 a 5 = a r 4 ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}a_{3}&=ar^{2}\\a_{4}&=ar^{3}\\a_{5}&=ar^{4}\\&\vdots \end{aligned}}} ${\begin{aligned}a_{3}&=ar^{2}\\a_{4}&=ar^{3}\\a_{5}&=ar^{4}\\&\vdots \end{aligned}}$

Dari kumpulan persamaan di atas, kita mendapati pola, yaitu

a n = a r n − 1 {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}} $a_{n}=ar^{n-1}$ .^[1]

Lebih umumnya, diberikan n > m {\displaystyle n>m} $n>m$ dan misal suku awal adalah a m {\displaystyle a_{m}} $a_{m}$ . Dari hasil di atas, diperoleh

a m = a r m − 1 {\displaystyle a_{m}=ar^{m-1}} $a_{m}=ar^{m-1}$

dan

a n = a r n − 1 = a r m − 1 r n − m = a m r n − m {\displaystyle a_{n}=ar^{n-1}=ar^{m-1}r^{n-m}=a_{m}r^{n-m}} $a_{n}=ar^{n-1}=ar^{m-1}r^{n-m}=a_{m}r^{n-m}$ .^[1]

Rasio

Rasio adalah hasil bagi antara dua suku. Secara matematis dirumuskan

r = a n + 1 a n {\displaystyle r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}} $r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}$ .

Suku tengah

a m + n 2 = a m a n {\displaystyle a_{\frac {m+n}{2}}={\sqrt {a_{m}a_{n}}}} $a_{\frac {m+n}{2}}={\sqrt {a_{m}a_{n}}}$

Deret geometri

Deret geometri atau deret ukur ialah deret di mana suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka didapati

S n = { a ( r n − 1 ) r − 1 , jika r > 1 a ( 1 − r n ) 1 − r , jika r < 1 {\displaystyle S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}},&{\text{jika }}r>1\\{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}},&{\text{jika }}r<1\end{cases}}} $S_{n}={\begin{cases}{\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}},&{\text{jika }}r>1\\{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}},&{\text{jika }}r<1\end{cases}}$

dengan S n {\displaystyle S_{n}} $S_{n}$ adalah deret geometri, dan a {\displaystyle a} $a$ adalah suku pertama.

Bukti deret geometri

Kita mulai dari kasus di mana r < 1 {\displaystyle r<1} $r<1$

S n = a + a r 1 + a r 2 + ⋯ + a r n − 2 + a r n − 1 {\displaystyle S_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+\cdots +a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}} $S_{n}=a+a\,r^{1}+a\,r^{2}+\cdots +a\,r^{n-2}+a\,r^{n-1}$

(1)

Dengan mengalikan kedua ruas dengan r {\displaystyle r} $r$ memperoleh persamaan baru.

r S n = a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 + a r n {\displaystyle rS_{n}=ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n}} $rS_{n}=ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}+ar^{n}$

(2)

Persamaan (1) mengurangi (2) menghasilkan

S n − r S n = a − a r n {\displaystyle S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}} $S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n}$

Dengan menggunakan sifat distributif dan membagi kedua ruas dengan ( 1 − r ) {\displaystyle (1-r)} $(1-r)$ membuktikan bahwa

S n = a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ .^[2]

Cara yang serupa untuk kasus r > 1 {\displaystyle r>1} $r>1$ . ◼ {\displaystyle \blacksquare } $\blacksquare$

Jika r = 1 {\displaystyle r=1} $r=1$ , maka deret geometri didapati

S n = n a {\displaystyle S_{n}=na} $S_{n}=na$ .^[2]

Deret geometri takhingga

Artikel utama: Deret geometrik

Diagram yang menunjukkan jumlah 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots } $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots$ adalah mendekati 2 {\displaystyle 2} $2$ .

Untuk deret geometri dengan tak terhingganya banyak suku, kita rumuskan

S ∞ = a 1 − r {\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} $S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$

untuk | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} $|r|<1$ . Sebagai contoh, pada diagram di samping kanan, diketahui bahwa suku awal (yakni persegi terbesar) adalah a = 1 {\displaystyle a=1} $a=1$ serta r = 1 2 {\displaystyle r={\frac {1}{2}}} $r={\frac {1}{2}}$ . Dengan menggunakan rumus di atas, maka jumlah keseluruhan pada diagram di samping adalah

S ∞ = 1 1 − 1 2 = 1 2 − 1 2 = 1 1 2 = 2 {\displaystyle S_{\infty }={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {2-1}{2}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2} $S_{\infty }={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {2-1}{2}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$ .

Bukti deret geometri, kasus \| r \| < 1 {\displaystyle \|r\|<1} $\|r\|<1$
Visualisasi yang menunjukkan cara lain untuk membuktikan deret geometri. Karena S n = ∑ i = 1 n a r i − 1 {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}ar^{i-1}} $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}ar^{i-1}$ , maka diperoleh S n = a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ . Ambil n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } $n\to \infty$ pada kedua ruas, diperoleh S ∞ = lim n → ∞ a ( 1 − r n ) 1 − r = a 1 − r lim n → ∞ ( 1 − r n ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\infty }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}\lim _{n\to \infty }(1-r^{n})\end{aligned}}} ${\begin{aligned}S_{\infty }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}\lim _{n\to \infty }(1-r^{n})\end{aligned}}$ Karena diketahui \| r \| < 1 {\displaystyle \|r\|<1} $\|r\|<1$ , maka lim n → ∞ 1 − r n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }1-r^{n}=1} $\lim _{n\to \infty }1-r^{n}=1$ . Karena itu, S ∞ = a 1 − r {\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} $S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$ . ◼ {\displaystyle \blacksquare } $\blacksquare$ ^[3]

Bukti deret geometri, kasus | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} $|r|<1$

Karena S n = ∑ i = 1 n a r i − 1 {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}ar^{i-1}} $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}ar^{i-1}$ , maka diperoleh

S n = a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} $S_{n}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$ .

Ambil n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } $n\to \infty$ pada kedua ruas, diperoleh

S ∞ = lim n → ∞ a ( 1 − r n ) 1 − r = a 1 − r lim n → ∞ ( 1 − r n ) {\displaystyle {\begin{aligned}S_{\infty }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}\lim _{n\to \infty }(1-r^{n})\end{aligned}}} ${\begin{aligned}S_{\infty }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}\lim _{n\to \infty }(1-r^{n})\end{aligned}}$

Karena diketahui | r | < 1 {\displaystyle |r|<1} $|r|<1$ , maka lim n → ∞ 1 − r n = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }1-r^{n}=1} $\lim _{n\to \infty }1-r^{n}=1$ . Karena itu,

S ∞ = a 1 − r {\displaystyle S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}} $S_{\infty }={\frac {a}{1-r}}$ . ◼ {\displaystyle \blacksquare } $\blacksquare$ ^[3]

Untuk kasus r > 1 {\displaystyle r>1} $r>1$ , S ∞ {\displaystyle S_{\infty }} $S_{\infty }$ tidak mempunyai hasil (karena bernilai ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } $\pm \infty$ ) sehingga deretnya dapat dikatakan divergen.^[4]^[5]

Barisan dan deret geometri bertingkat

Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya.

Jika bertingkat 2: a n = a n 2 + b n + c {\displaystyle a_{n}=a^{n^{2}}+b^{n}+c} $a_{n}=a^{n^{2}}+b^{n}+c$

Jika bertingkat 3: a n = a n 3 + b n 2 + c n + d {\displaystyle a_{n}=a^{n^{3}}+b^{n^{2}}+c^{n}+d} $a_{n}=a^{n^{3}}+b^{n^{2}}+c^{n}+d$

dst

Lihat pula

Barisan
Deret (matematika)
Barisan dan deret aritmetika
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯, salah satu bentuk deret

Referensi

1 2 3 Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 10.
1 2 Drs. Win Konadi, M.Si, Barisan dan Deret Geometri serta Contoh Soal
↑ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12–13.
↑ Sahid, MSc, Kalkulus Lanjutan, hlm. 12.
↑ H. Karso, Barisan dan Deret, hlm. 14.

Bacaan lebih lanjut

Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-505-X.{{cite book}}: Parameter tidak dikenal |coauthors= diabaikan (|author= disarankan) (Indonesia)
Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 3B Untuk Kelas XII Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-568-8.{{cite book}}: Parameter tidak dikenal |coauthors= diabaikan (|author= disarankan) (Indonesia)

Barisan dan deret

Barisan
bilangan bulat

Dasar	Barisan dan deret aritmetika Barisan dan deret geometri Barisan harmonik Bilangan persegi Bilangan kubik Faktorial Perpangkatan bilangan dua Perpangkatan bilangan tiga Perpangkatan bilangan 10
Lanjutan (daftar)	Barisan lengkap Bilangan Fibonacci Bilangan figurasi Bilangan heptagonal Bilangan heksagonal Bilangan Lucas Bilangan Pell Bilangan pentagonal Bilangan poligonal Bilangan segitiga

Sifat-sifat barisan

Sifat-sifat deret

Deret	Selang-seling Konvergen Divergen Teleskopik
Konvergensi	Mutlak Bersyarat Seragam

Deret eksplisit

konvergen	1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ 1 + 1/2^s+ 1/3^s + ... (Fungsi zeta Riemann)
Divergen	1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Deret Grandi) Deret aritmetika tak terbatas 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (deret harmonik) 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (faktorial selaing-seling) 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (Invers bilangan prima)