| Struktur grup | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Totalitasα | Asosiatif | Identitas | Invers | Komutativitas | |
| Semigrupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Kategori Kecil | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Grupoid | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Magma | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Kuasigrup | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Magma Unital | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Loop | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Semigrup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Semigrup invers | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Monoid | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Monoid komutatif | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan | Dibutuhkan |
| Grup | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Tidak dibutuhkan |
| Grup Abelian | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan | Dibutuhkan |
| ^α Penutupan, yang digunakan dalam banyak sumber, merupakan aksioma yang setara dengan totalitas, meskipun didefinisikan secara berbeda. | |||||
Dalam matematika, semigrupoid (disebut juga semikategori, kategori terbuka atau prakategori) adalah aljabar parsial yang memenuhi aksioma untuk[1][2][3] kategori kecil, kecuali kemungkinan persyaratan bahwa terdapat identitas pada setiap objek. Semigrupoid menggeneralisasi semigrup dengan cara yang sama, sebagai contoh kategori kecil menggeneralisasi monoid dan grupoid menggeneralisasi grup. Semigrupoid memiliki aplikasi dalam teori struktural semigrup.
Secara formal, semigrupoid terdiri dari:
- himpunan yang disebut sebagai objek.
- untuk setiap dua objek A dan B satu himpunan Mor(A,B) disebut sebagai morfisme dari A ke B. Jika f sebagai Mor(A,B) ditulis f : A → B.
- untuk setiap tiga objek A, B dan C operasi biner Mor(A,B) × Mor(B,C) → Mor(A,C) disebut komposisi morfisme. Komposisi f : A → B dan g : B → C ditulis sebagai g ∘ f atau gf (beberapa lainnya menulis sebagai fg.)
sedemikian rupa maka aksioma berikut berlaku:
- (asosiatif) jika f : A → B, g : B → C dan h : C → D maka h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f.
Referensi
- ↑ Tilson, Bret (1987). "Categories as algebra: an essential ingredient in the theory of monoids". J. Pure Appl. Algebra. 48 (1–2): 83–198. doi:10.1016/0022-4049(87)90108-3., Appendix B
- ↑ Rhodes, John; Steinberg, Ben (2009), The q-Theory of Finite Semigroups, Springer, hlm. 26, ISBN 9780387097817
- ↑ See e.g. Gomes, Gracinda M. S. (2002), Semigroups, Algorithms, Automata and Languages, World Scientific, hlm. 41, ISBN 9789812776884 objek semigrupoid untuk membentuk satu himpunan.