Balok jajar genjang

Balok jajar genjang

Jenis	Prisma Plesiohedron
Muka	6 jajar genjang
Rusuk	12
Titik pojok	8
Grup simetri	C_i, [2⁺,2⁺], (×), orde 2
Sifar	cembung, zonohedron

Dalam geometri, balok jajar genjang (bahasa Inggris:parallelepiped) adalah bangunan dimensi tiga yang dibentuk oleh enam bangun datar jajar genjang, mirip seperti kubus yang dibentuk oleh enam muka persegi. Balok jajar genjang mempunyai tiga definisi yang ekuivalen

sebuah polihedron yang mempunyai enam muka (heksahedron), tetapi berupa jajar genjang;
sebuah heksahedron yang mempunyai tiga pasangan muka yang sejajar; dan
sebuah prisma yang mempunyai alas berbentuk jajar genjang.

Terdapat kasus istimewa dari balok jajar genjang, di antaranya kuboid berbentuk persegi panjang, yang mempunyai enam muka persegi panjang; kubus yang mempunyai enam muka persegi; dan rombohedron yang mempunyai enam muka layang-layang.

Balok jajar genjang merupakan subkelas dari prismatoid.

Sifat

Sebarang dari tiga pasangan muka yang sejajar dapat dipandang sebagai bidang alas prisma. Balok jajar genjang mempunyai tiga set dari empat rusuk yang sejajar, dan rusuk dalam setiap set mempunyai panjang yang sama.

Balok jajar genjang merupakan hasil transformasi linear dari kubus.

Balok jajar genjang merupakan zonohedron, sebab masing-masing muka mempunyai simetri titik. Secara keseluruhan, balok jajar genjang mempunyai simetri titik C_i. Masing-masing muka balok jajar genjang akan terlihat berupa gambar cerminan dari muka yang berhadapan, jika memandang balok jajar genjang dari luar. Bentuk muka pada bangun ruang umumnya adalah kiral, tetapi balok jajar genjang tidak mempunyainya.

Sebuah teselasi space-filling dapat dikonstruksi dengan menggunakan salinan kongruen dari sebarang balok jajar genjang.

Volume

Sebuah balok jajar genjang dapat dipandang sebagai prisma oblique dengan jajar genjang sebagai alasnya. Karena itu, volume V {\displaystyle V} $V$ adalah hasil kali dari luas alas dengan tinggi. V = L ⋅ h = ( | a | | b | sin ⁡ γ ) ⋅ | c | | cos ⁡ θ | = | a × b | | c | | cos ⁡ θ | = | ( a × b ) ⋅ c | . {\displaystyle V=L\cdot h=(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma )\cdot |\mathbf {c} ||\cos \theta ~|=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |~|\mathbf {c} |~|\cos \theta ~|=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |~.} $V=L\cdot h=(|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma )\cdot |\mathbf {c} ||\cos \theta ~|=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |~|\mathbf {c} |~|\cos \theta ~|=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |~.$ dengan L {\displaystyle L} $L$ dan tinggi h {\displaystyle h} $h$ (lihat gambar).^[a]

Hasil kali dari tiga vektor disebut sebagai hasil kali rangkap tiga, yang dijelaskan dengan menggunakan determinan. Karena a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) T , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) T , c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) T , {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathrm {T} },~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathrm {T} },~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathrm {T} },} $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})^{\mathrm {T} },~\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})^{\mathrm {T} },~\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})^{\mathrm {T} },$ maka volumenya ditulis sebagai:

V = | det [ a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.} $V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.$

(V1)

Adapun representasi lain dari volume balok jajar genjang. Representasi tersebut hanya menggunakan sifat geometri, yaitu sudut dan panjang rusuk.

V = a b c 1 + 2 cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( β ) cos ⁡ ( γ ) − cos 2 ⁡ ( α ) − cos 2 ⁡ ( β ) − cos 2 ⁡ ( γ ) , {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},} $V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}},$

(V2)

dengan α = ∠ ( b , c ) , β = ∠ ( a , c ) , γ = ∠ ( a , b ) {\textstyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ),\beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ),\gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )} ${\textstyle \alpha =\angle (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ),\beta =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ),\gamma =\angle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ dan a , b , c {\textstyle a,b,c} ${\textstyle a,b,c}$ menyatakan panjang rusuk.

Luas permukaan

Luas permukaan balok jajar genjang adalah jumlah dari luas jajaran genjang:

A = 2 ⋅ ( | a × b | + | a × c | + | b × c | ) = 2 ( a b sin ⁡ γ + b c sin ⁡ α + c a sin ⁡ β ) . {\displaystyle A=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta ).} $A=2\cdot \left(|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |+|\mathbf {a} \times \mathbf {c} |+|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |\right)=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta ).$

Catatan

↑ Luas alas dirumuskan sebagai L = | a | ⋅ | b | ⋅ sin ⁡ γ = | a × b | {\displaystyle L=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \sin \gamma =|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |} $L=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \sin \gamma =|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |$ dengan γ {\displaystyle \gamma } $\gamma$ adalah sudut di antara vektor a {\displaystyle \mathbf {a} } $\mathbf {a}$ dan b {\displaystyle \mathbf {b} } $\mathbf {b}$ ). Tinggi dirumuskan sebagai h = | c | ⋅ | cos ⁡ θ | {\displaystyle h=|\mathbf {c} |\cdot |\cos \theta |} $h=|\mathbf {c} |\cdot |\cos \theta |$ , dengan θ {\displaystyle \theta } $\theta$ adalah sudut vektor di antara vektor c {\displaystyle \mathbf {c} } $\mathbf {c}$ dan garis normal yang tegak lurus dengan alas.