 | Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Simpson's rule di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
(biru) dengan interpolasi kuadratik
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
(merah).
Dalam analisis numerik, kaidah Simpson atau aturan Simpson adalah salah satu metode untuk mencari hampiran numerik dari integral tentu. Metode ini berasal dari matematikawan Thomas Simpson (1710 – 1761), yang berasal dari Leicestershire, Inggris. Kaidah ini dinamai dengan kaidah tong dalam bahasa Jerman dan beberapa bahasa lainnya, lantaran Johannes Kepler berhasil menurunkan rumus ini pada tahun 1615 setelah melihat rumus ini digunakan pada tong anggur.[butuh rujukan] Kaidah Simpson merupakan dua kasus spesial dari rumus Newton-Cotes tertutup.
Salah satu penerapan kaidah Simpson adalah dalam arsitektur perkapalan untuk menghitung kapasitas kapal atau sekoci.[1]
Kaidah Simpson 1/3
Salah satu perumusan paling sederhana dari kaidah ini adalah kaidah Simpson 1/3, yaitu
-
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
6
(
f
(
a
)
+
4
f
(
a
+
b
2
)
+
f
(
b
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left(f(a)+4\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right)}
Jika didefinisikan variabel
h
=
b
−
a
2
{\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2}}}
-
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
3
(
f
(
a
)
+
4
f
(
a
+
h
)
+
f
(
a
+
2
h
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f\left(a+h\right)+f(a+2h)\right)}
Nilai hampiran di atas akan berubah menjadi eksak apabila fungsi
f
{\displaystyle f}
Penurunan Rumus
Interpolasi Kuadratik
Kaidah Simpson didasarkan pada interpolasi kuadratik yang dikonstruksikan dari titik
{
(
a
,
f
(
a
)
)
,
(
a
+
b
2
,
f
(
a
+
b
2
)
)
,
(
b
,
f
(
b
)
)
}
{\displaystyle \left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {a\,+\,b}{2}},\,f\left({\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}}
-
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
∫
a
b
(
f
(
a
)
(
x
−
a
+
b
2
)
(
x
−
b
)
(
a
−
a
+
b
2
)
(
a
−
b
)
+
f
(
a
−
a
+
b
2
)
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
(
a
+
b
2
−
a
)
(
a
+
b
2
−
b
)
+
f
(
b
)
(
x
−
a
)
(
x
−
a
+
b
2
)
(
b
−
a
)
(
b
−
a
+
b
2
)
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx \int _{a}^{b}\left(f(a)\,{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}+f\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)\,{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}+f(b)\,{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\right){\text{d}}x}
Dengan menggunakan teknik integral substitusi, maka dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa
-
∫
a
b
(
x
−
a
+
b
2
)
(
x
−
b
)
(
a
−
a
+
b
2
)
(
a
−
b
)
d
x
=
b
−
a
6
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(x-b)}{\left(a-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)(a-b)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}}
-
∫
a
b
(
x
−
a
)
(
x
−
b
)
(
a
+
b
2
−
a
)
(
a
+
b
2
−
b
)
d
x
=
2
3
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)(x-b)}{\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-a\right)\left({\frac {a\,+\,b}{2}}-b\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {2}{3}}\left(b-a\right)}
-
∫
a
b
(
x
−
a
)
(
x
−
a
+
b
2
)
(
b
−
a
)
(
b
−
a
+
b
2
)
d
x
=
b
−
a
6
{\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {(x-a)\left(x-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}{(b-a)\left(b-{\frac {a\,+\,b}{2}}\right)}}\,{\text{d}}x={\dfrac {b-a}{6}}}
Apabila hasil di atas dituliskan dalam variabel
h
=
b
−
a
2
{\displaystyle h={\dfrac {b-a}{2}}}
-
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
3
(
f
(
a
)
+
4
f
(
a
+
h
)
+
f
(
a
+
2
h
)
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\text{d}}x\approx {\frac {h}{3}}\left(f(a)+4\,f(a+h)+f(a+2h)\right)}
Keberadaan faktor
1
3
{\displaystyle {\dfrac {1}{3}}}
Koefisien tak tentu
Dengan menebak bahwa
-
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
C
1
f
(
a
)
+
C
2
f
(
a
+
b
2
)
+
C
3
f
(
b
)
{\displaystyle {\dfrac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx C_{1}\,f(a)+C_{2}\,f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+C_{3}f(b)}
maka nilai koefisien
C
1
,
C
2
,
C
3
{\displaystyle C_{1},\,C_{2},\,C_{3}}
-
[
C
1
C
2
C
3
]
=
[
1
/
6
2
/
3
1
/
6
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{1}\\C_{2}\\C_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1/6\\2/3\\1/6\end{bmatrix}}}
Pembuktian ini pada dasarnya adalah versi tak formal dari pembuktian interpolasi Lagrange, lantaran bentuk umum hampirannya ditebak di awal pembuktian.
Galat
Galat dari hampiran integral menggunakan kaidah Simpson adalah
-
−
1
90
(
b
−
a
2
)
5
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {1}{90}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{5}f^{(4)}(\xi )}
dengan
a
<
ξ
<
b
{\displaystyle a<\xi <b}
Perhatikan bahwa galat kaidah Simpson 1/3 sebanding dengan
(
b
−
a
)
5
{\displaystyle (b-a)^{5}}
![{\displaystyle [a,\,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6403d6efced230f17c4b47aaf58879b629b048f)
Oleh karena galatnya sebanding dengan turunan keempat dari fungsi
f
{\displaystyle f}
Kaidah Simpson 1/3 Komposit
Jika domain integrasi
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,\,b]}
Akan tetapi, terkadang ditemukan kasus dimana fungsi yang akan diintegralkan tidaklah mulus pada interval yang diberikan. Biasanya, ini artinya fungsinya sangat berosilasi atau tidak memiliki turunan pada beberapa titik. Pada kasus-kasus tersebut, kaidah Simpson akan memberikan hasil yang buruk. Salah satu cara untuk menangani masalah ini adalah mempartisi interval
[
a
,
b
]
{\displaystyle \left[a,\,b\right]}
![{\displaystyle \left[a,\,b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44e884af639a9377708e7a06bc41347db2b9639c)
Misalkan interval
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,\,b]}
Jika dipilih
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Dalam penerapan nya, sering kali lebih menguntungkan apabila digunakan panjang interval yang berbeda, dan fokus pada lokasi dimana fungsinya kurang "berperilaku baik". Metode ini akan mengarah ke Metode Simpson adaptif.
| Contoh implementasi menggunakan Python |
importmath importnumpyasnp deff(x) : return math.cos(x) #mencari integral fungsi y = cos(x) defaturan_simpson(a, b, n): if n % 2 != 0 : print("nilai n haruslah genap") else : h = (b - a) / n x = np.linspace(a, b, n+1) y = [] for i in range(0, n+1) : y.append(f(a + i*h)) return h/3 * (y[0] + 4*np.sum(y[1:-1:2]) + 2*np.sum(y[2:-1:2]) + y[-1]) |
Galat
Nilai galat yang dihasilkan dari kaidah Simpson komposit ialah
-
−
1
180
h
4
(
b
−
a
)
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(\xi )}
dimana
a
<
ξ
<
b
{\displaystyle a<\xi <b}
-
1
180
h
4
(
b
−
a
)
⋅
sup
ξ
∈
[
a
,
b
]
|
f
(
4
)
(
ξ
)
|
{\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\cdot \sup _{\xi \,\in \,[a,\,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|}
![{\displaystyle {\frac {1}{180}}h^{4}(b-a)\cdot \sup _{\xi \,\in \,[a,\,b]}\left|f^{(4)}(\xi )\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eab28b6f46657e54183b9c1f8f6c5d8636ca92e4)
Kaidah Simpson 3/8
Kaidah Simpson 3/8, disebut juga Kaidah kedua Simpson, adalah metode lain untuk melakukan pengintegralan numerik yang diajukan oleh Thomas Simpson. Metode ini didasari oleh interpolasi kubik yang dikonstruksikan dari titik
{
(
a
,
f
(
a
)
)
,
(
2
a
+
b
3
,
f
(
a
+
2
b
3
)
)
,
(
b
,
f
(
b
)
)
}
{\displaystyle \left\{(a,\,f(a)),\,\left({\frac {2a+b}{3}},\,f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)\right),\,(b,\,f(b))\right\}}
Galat
Galat yang dihasilkan melalui kaidah Simpson 3/8 ialah
−
3
80
h
5
f
(
4
)
(
ξ
)
=
−
(
b
−
a
)
5
6480
f
(
4
)
(
ξ
)
{\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi )}
Kaidah Simpson 3/8 Komposit
Apabila interval
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,\,b]}
Jika dipilih
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Lihat juga
Catatan
- ↑ McCall Pate (1918). The naval artificer's manual: (The naval artificer's handbook revised) text, questions and general information for deck. United States. Bureau of Reconstruction and Repair. hlm. 198.
- ↑ Atkinson, equation (5.1.15); Süli and Mayers, Theorem 7.2
- ↑ Atkinson 1989, hlm. 257–258.
- ↑ Süli & Mayers 2003, §7.5.
Referensi
- (Inggris) Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis [Pengantar Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris) (Edisi 2nd). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
- (Inggris) Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis [Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris) (Edisi 7th). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
- (Inggris) Cartwright, Kenneth V. (September 2017). "Simpson's Rule Cumulative Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data" [Pengintegralan Kumulatif Kaidah Simpson dengan MS Excel dan Data dengan Karak tak Beraturan] (PDF). Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education (dalam bahasa Inggris). 12 (2): 1–9. Diakses tanggal 18 Desember 2022.
{{cite journal}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link) - (Inggris) Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks" [Perbandingan kaidah pengintegralan pada kasus puncak kromatografi yang sangat sempit]. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems (dalam bahasa Inggris). 179: 22–30. doi:10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439.
- (Inggris) Matthews, John H. (2004). "Simpson's 3/8 Rule for Numerical Integration" [Kaidah Simpson 3/8 untuk Pengintegralan Numerik]. Numerical Analysis - Numerical Methods Project (dalam bahasa Inggris). California State University, Fullerton. Diarsipkan dari asli tanggal 4 Desember 2008. Diakses tanggal 11 November 2008.
{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link) - (Inggris) Kaw, Autar; Kalu, Egwu (2022). "Numerical Methods with Applications" [Metode Numerik beserta Penerapan] (dalam bahasa Inggris)..
- (Inggris) Shklov, N. (Desember 1960). "Simpson's Rule for Unequally Spaced Ordinates" [Kaidah Simpson untuk Ordinat yang berjarak tak sama]. The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 67 (10): 1022–1023. doi:10.2307/2309244. JSTOR 2309244.
- (Inggris) Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis [Pengantar Analisis Numerik] (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.
- (Inggris)Weisstein, Eric W. "Newton-Cotes Formulas". MathWorld. Diakses tanggal 14 Desember 2022.
Pranala luar
- (Inggris) Kaidah Simpson untuk Pengintegralan Numerik
- (Inggris) Penerapan kaidah Simpson - Earthwork Excavation
- (Inggris)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Simpson formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- (Inggris)Weisstein, Eric W. "Simpson's Rule". MathWorld.
- (Inggris) Kaidah Simpson 1/3 untuk pengintegralan pada Holistic Numerical Methods (Metode Numerik Holistik)
- (Inggris)Penjelasan rinci tentang implementasi komputer dijelaskan oleh Dorai Sitaram dalam Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C Diarsipkan 2018-03-17 di Wayback Machine.
- (Inggris) Program dalam bahasa C untuk mengimplementasikan kaidah Simpson Diarsipkan 2011-07-08 di Wayback Machine.