Partisi selang

Dalam matematika, partisi dari selang [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\,b\right]} pada garis bilangan adalah himpunan berhingga bilangan riil terurut P = { x 0 , x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}} sedemikian sehingga

• x 0 < x 1 < x 2 < … < x n {\displaystyle x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}}
• x 0 = a {\displaystyle x_{0}=a} dan x n = b {\displaystyle x_{n}=b}

Dengan menggunakan istilah lain, partisi dari selang kompak I {\displaystyle I} adalah barisan bilangan yang naik sejati (yang berada pada selang I {\displaystyle I} itu sendiri) dimulai dari titik awal dari I {\displaystyle I} dan berakhir di titik akhir dari I {\displaystyle I} .

Setiap selang dalam bentuk [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle \left[x_{i},\,x_{i+1}\right]} disebut sebagai selang bagian^{[butuh rujukan]} atau subinterval dari partisi [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\,b\right]} .

Partisi Penghalus

Misalkan P = { x 0 , x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}} adalah partisi dari selang [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\,b\right]} . Partisi Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} dari interval [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\,b\right]} disebut sebagai penghalus dari partisi P {\displaystyle {\mathcal {P}}} jika P ⊂ Q {\displaystyle {\mathcal {P}}\subset {\mathcal {Q}}} .^[1]

Diberikan dua partisi P 1 {\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}} dan P 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}_{2}} dari selang [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\,b\right]} . Maka, dapat dikonstruksikan partisi sekutu (dinotasikan dengan P 1 ∨ P 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}\lor {\mathcal {P}}_{2}} ) yang diperoleh dari P 1 ∪ P 2 {\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}\cup {\mathcal {P}}_{2}} .^[2]

Norma Partisi

Norma (atau mesh) dari partisi

P = { x 0 , x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}}

didefinisikan sebagai panjang subinterval terpanjang.^[3][4] Secara matematis,

‖ P ‖ = max { x 1 − x 0 , x 2 − x 1 , … , x n − x n − 1 } {\displaystyle \|{\mathcal {P}}\|=\max \left\{x_{1}-x_{0},\,x_{2}-x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}-x_{n-1}\right\}}

Partisi Bertanda

Jika dipilih suatu titik t i ∈ [ x i − 1 , x i ] {\displaystyle t_{i}\in \left[x_{i-1},\,x_{i}\right]} (yang disebut tag) dimana i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,\,2,\,\ldots ,\,n} , maka himpunan P = { ( [ x 0 , x 1 ] , t 1 ) , ( [ x 1 , x 2 ] , t 2 ) , … , ( [ x n − 1 , x n ] , t n ) } {\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\left(\left[x_{0},\,x_{1}\right],\,t_{1}\right),\,\left(\left[x_{1},\,x_{2}\right],\,t_{2}\right),\,\ldots ,\,\left(\left[x_{n\,-\,1},\,x_{n}\right],\,t_{n}\right)\right\}} disebut Partisi bertanda (atau partisi tag) dari [ a , b ] {\displaystyle \left[a,\,b\right]} .^[5] Dengan kata lain, partisi bertanda adalah partisi suatu interval terbatas I {\displaystyle I} , beserta suatu elemen dari setiap subintervalnya.

Penerapan

Konsep partisi merupakan bagian penting dari definisi konsep integral, seperti integral Riemann, integral Darboux, integral Riemann–Stieltjes, dan regulated integral. Saat partisi intervalnya terus diperhalus, maka norma partisi nya mendekati nol dan nilai dari jumlahan Riemann nya pada selang yang diberikan akan mendekati integral Riemann.^[6]

Lihat juga

• Regulated integral
• Integral Riemann
• integral Darboux
• Integral Riemann–Stieltjes
• Integral Henstock–Kurzweil

Referensi

Bacaan Lanjutan

• Gordon, Russell A. (1994). The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock [Integral Lebesgue, Denjoy, Perron, dan Henstock]. Graduate Studies in Mathematics (dalam bahasa Inggris). Vol. 4. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3805-9.