Integral Berezin

Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Berezin integral di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel)

Dalam fisika matematis, Integral Berezin, dinamai dari Felix Berezin, (juga dikenal sebagai Integral Grassmann, dinamai dari Hermann Grassmann) adalah sebuah cara untuk mendefinisikan integral pada fungsi-fungsi pada variabel Grassmann (anggota dari aljabar eksterior). Itu bukan sebuah integral dalam maksud integral Lebesgue, kata "integral" digunakan karena integral Berezin memiliki sifat-sifat analogi dari integral Lebesgue dan karena memperpanjang integral lintasan dalam fisika, yang di mana itu digunakan sebagai sebuah penjumlahan atas sejarah pada fermion.

Definisi

Misalkan Λ n {\displaystyle \Lambda ^{n}} adalah aljabar eksterior dari polinomial dalam anggota antikomutatif θ 1 , … , θ n {\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}} dari bidang bilangan kompleks. (Urutan dari generator θ 1 , … , θ n {\displaystyle \theta _{1},\dots ,\theta _{n}} tetap dan mendefinisikan awal dari aljabar eksterior.)

Satu variabel

Integral Berezin melebihi variabel tunggal Grassmann θ = θ 1 {\displaystyle \theta =\theta _{1}} didefinisikan menjadi sebuah fungsional linear

∫ [ a f ( θ ) + b g ( θ ) ] d θ = a ∫ f ( θ ) d θ + b ∫ g ( θ ) d θ , a , b ∈ C {\displaystyle \int [af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int f(\theta )\,d\theta +b\int g(\theta )\,d\theta ,\quad a,b\in \mathbb {C} }

...di mana kita mendefinisikan...

∫ θ d θ = 1 , ∫ d θ = 0 {\displaystyle \int \theta \,d\theta =1,\qquad \int \,d\theta =0}

sehinggaː

∫ ∂ ∂ θ f ( θ ) d θ = 0. {\displaystyle \int {\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\,d\theta =0.}

Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik dan menyiratkan

∫ ( a θ + b ) d θ = a , a , b ∈ C . {\displaystyle \int (a\theta +b)\,d\theta =a,\quad a,b\in \mathbb {C} .}

Perhatikan bahwa f ( θ ) = a θ + b {\displaystyle f(\theta )=a\theta +b} merupakan fungsi yang paling umum dari θ {\displaystyle \theta } karena variabel Grassmann kuadrat ke nol, jadi f ( θ ) {\displaystyle f(\theta )} tidak dapat memiliki istilah tak nol melebihi urutan linear.

Beberapa variabel

Integral Berezin dari Λ n {\displaystyle \Lambda ^{n}} didefinisikan sebagai fungsi linear unik ∫ Λ n d θ {\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\mathrm {d} \theta } dengan sifat-sifat berikut.

∫ Λ n θ n ⋯ θ 1 d θ = 1 , {\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{n}\cdots \theta _{1}\,\mathrm {d} \theta =1,}

∫ Λ n ∂ f ∂ θ i d θ = 0 ,   i = 1 , … , n {\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}{\frac {\partial f}{\partial \theta _{i}}}\,\mathrm {d} \theta =0,\ i=1,\dots ,n}

untuk setiap f ∈ Λ n {\displaystyle f\in \Lambda ^{n}} , di mana ∂ ∂ θ i {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta _{i}}}} berarti turunan parsial kiri atau kanan. Sifat-sifat ini mendefinisikan integral yang unik.

Perhatikan bahwa konvensi yang berbeda dalam literaturː Beberapa penulis mendefinisikan sebaliknya^[1]

∫ Λ n θ 1 ⋯ θ n d θ := 1. {\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}\theta _{1}\cdots \theta _{n}\,\mathrm {d} \theta :=1.}

Rumus

∫ Λ n f ( θ ) d θ = ∫ Λ 1 ( ⋯ ∫ Λ 1 ( ∫ Λ 1 f ( θ ) d θ 1 ) d θ 2 ⋯ ) d θ n {\displaystyle \int _{\Lambda ^{n}}f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int _{\Lambda ^{1}}\left(\cdots \int _{\Lambda ^{1}}\left(\int _{\Lambda ^{1}}f(\theta )\,\mathrm {d} \theta _{1}\right)\,\mathrm {d} \theta _{2}\cdots \right)\mathrm {d} \theta _{n}}

mengekspresikan hukum Fubini. Di sisi kanan, bagian dalam integral pada sebuah monomial f = g ( θ ′ ) θ 1 {\displaystyle f=g(\theta ')\theta _{1}} diatur menjadi g ( θ ′ ) {\displaystyle g(\theta ')} , di mana θ ′ = ( θ 2 , … , θ n ) {\displaystyle \theta '=\left(\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}\right)} , integral dari f = g ( θ ′ ) {\displaystyle f=g(\theta ')} menghilang. Integral dengan terhadap θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} dihitung dalam cara yang sama dan sebagainya.

Perubahan dari variael Grassmann

Misalkan θ i = θ i ( ξ 1 , … , ξ n ) ,   i = 1 , … , n {\displaystyle \theta _{i}=\theta _{i}\left(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}\right),\ i=1,\ldots ,n} , adalah polinomial ganjil dalam beberapa variabel anitsimetris ξ 1 , … , ξ n {\displaystyle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}} . Matriks Jacobian bisa ditulis

di mana ∂ ∂ ξ j {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \xi _{j}}}} merujuk turunan sebelah kanan ( ∂ ( θ 1 θ 2 ) ∂ θ 2 = θ 1 , ∂ ( θ 1 θ 2 ) ∂ θ 1 = − θ 2 {\displaystyle {\frac {\partial (\theta _{1}\theta _{2})}{\partial \theta _{2}}}=\theta _{1},\;{\frac {\partial (\theta _{1}\theta _{2})}{\partial \theta _{1}}}=-\theta _{2}} ). Rumus untuk perubahan koordinat terbaca

∫ f ( θ ) d θ = ∫ f ( θ ( ξ ) ) ( det D ) − 1 d ξ . {\displaystyle \int f(\theta )\mathrm {d} \theta =\int f(\theta (\xi ))(\det D)^{-1}\mathrm {d} \xi .}

Mengintegrasikan variabel genap dan ganjil

Definisi

Sekarang pertimbangkan aljabar Λ m ∣ n {\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}} dari fungsi dari variabel komutatif real x = x 1 , … , x m {\displaystyle x=x_{1},\dots ,x_{m}} dan variabel antikomutatif θ 1 , … , θ n {\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{n}} (yaitu disebut superaljabar bebas dari dimensi ( m | n ) {\displaystyle (m|n)} ). Berdasarkan intuitif, sebuah fungsi f = f ( x , θ ) ∈ Λ m ∣ n {\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}} adalah sebuah fungsi dari variabel m {\displaystyle m} genap (bosonik, komutatif) dan dari variabel n {\displaystyle n} ganjil (fermionik, antikomutatif). Lebih formal, sebuah anggota f = f ( x , θ ) ∈ Λ m ∣ n {\displaystyle f=f(x,\theta )\in \Lambda ^{m\mid n}} adalah sebuah fungsi dari argumen x {\displaystyle x} yang bervariasi di himpunan terbuka X ⊂ R m {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}} dengan nilai di aljabar Λ n {\displaystyle \Lambda ^{n}} . Andaikan bahwa fungsi ini kontinuitas dan menghilang dalam komplemen dari sebuah himpunan kompak K ⊂ R m {\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{m}} . Integral Berezin adalah

∫ Λ m ∣ n f ( x , θ ) d θ d x = ∫ R m d x ∫ Λ n f ( x , θ ) d θ . {\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\mathrm {d} x\int _{\Lambda ^{n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta .}

Perubahan variabel genap dan ganjil

Misalkan sebuah transformasi koordinat diberikan oleh x i = x i ( y , ξ ) ,   i = 1 , … , m ;   θ j = θ j ( y , ξ ) , j = 1 , … , n {\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,\xi ),\ i=1,\ldots ,m;\ \theta _{j}=\theta _{j}(y,\xi ),j=1,\ldots ,n} , di mana x i {\displaystyle x_{i}} genap dan θ j {\displaystyle \theta _{j}} adalah polinomial ganjil dari ξ {\displaystyle \xi } bergantung pada variabel genap y {\displaystyle y} . Matriks Jacobian dari transformasi ini memiliki bentuk kompleksː

J = ∂ ( x , θ ) ∂ ( y , ξ ) = ( A B C D ) , {\displaystyle \mathrm {J} ={\frac {\partial (x,\theta )}{\partial (y,\xi )}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}},}

di mana setiap turunan genap ∂ ∂ y j {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{j}}}} komuter dengan semua anggota dari aljabar Λ m ∣ n {\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}} , turunan ganjil komuter dengan anggota genap dan antikomuter dengan anggota ganjil. Entri dari blok diagonal A = ∂ x ∂ y {\displaystyle A={\frac {\partial x}{\partial y}}} dan D = ∂ θ ∂ ξ {\displaystyle D={\frac {\partial \theta }{\partial \xi }}} adalah genap dan entri dari blok off-diagonal B = ∂ x ∂ ξ {\displaystyle B={\frac {\partial x}{\partial \xi }}} , C = ∂ θ ∂ y {\displaystyle C={\frac {\partial \theta }{\partial y}}} , di mana ∂ ∂ ξ j {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \xi _{j}}}} lagi berarti turunan kanan.

Kita sekarang perlu Berezinian (atau superdeterminan) dari matriks J {\displaystyle \mathrm {J} } , yang di mana fungsi genap

B e r   J = det ( A − B D − 1 C ) det D − 1 {\displaystyle \mathrm {Ber~J} =\det \left(A-BD^{-1}C\right)\det D^{-1}}

mendefinisikan ketika fungsi det D {\displaystyle \det D} invertible (artinya matriks yang dapat dibalik) dalam Λ m ∣ n {\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}} . Andaikan bahwa fungsi real x i = x i ( y , 0 ) {\displaystyle x_{i}=x_{i}(y,0)} mendefinisikan pemetaan invertible mulus F : Y → X {\displaystyle F:Y\to X} dari himpunan terbuka X , Y {\displaystyle X,Y} dalam R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} dan bagian linear dari ξ ↦ θ = θ ( y , ξ ) {\displaystyle \xi \mapsto \theta =\theta (y,\xi )} invertible untuk setiap y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} . Hukum transformasi secara umum untuk inegral Berezin menunjukkan

∫ Λ m ∣ n f ( x , θ ) d θ d x = ∫ Λ m ∣ n f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) ε B e r   J   d ξ d y = ∫ Λ m ∣ n f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) ε det ( A − B D − 1 C ) det D d ξ d y , {\displaystyle \int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x,\theta )\mathrm {d} \theta \mathrm {d} x=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon \mathrm {Ber~J~d} \xi \mathrm {d} y=\int _{\Lambda ^{m\mid n}}f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))\varepsilon {\frac {\det \left(A-BD^{-1}C\right)}{\det D}}\mathrm {d} \xi \mathrm {d} y,}

di mana ε = s g n ( det ( ∂ x ( y , 0 ) ∂ y ) ) {\displaystyle \varepsilon =\mathrm {sgn} \left(\det \left({\frac {\partial x(y,0)}{\partial y}}\right)\right)} adalah tanda dari awalnya pemetaan F {\displaystyle F} . Superposisi f ( x ( y , ξ ) , θ ( y , ξ ) ) {\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta (y,\xi ))} mendefinisikan dalam cara yang jelas, jika fungsi x i ( y , ξ ) {\displaystyle x_{i}(y,\xi )} tidak bergantung pada ξ {\displaystyle \xi } . Dalam kasus umum, kita tulis x i ( y , ξ ) = x i ( y , 0 ) + δ i {\displaystyle x_{i}(y,\xi )=x_{i}(y,0)+\delta _{i}} , di mana δ i , i = 1 , … , m {\displaystyle \delta _{i},i=1,\ldots ,m} adalah anggota nilpoten genap dari Λ m ∣ n {\displaystyle \Lambda ^{m\mid n}} dan himpunan

f ( x ( y , ξ ) , θ ) = f ( x ( y , 0 ) , θ ) + ∑ i ∂ f ∂ x i ( x ( y , 0 ) , θ ) δ i + 1 2 ∑ i , j ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( x ( y , 0 ) , θ ) δ i δ j + ⋯ {\displaystyle f(x(y,\xi ),\theta )=f(x(y,0),\theta )+\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x(y,0),\theta )\delta _{i}\delta _{j}+\cdots } ,

di mana deret Taylor terbatas.

Rumus yang berguna

Rumus berikut untuk integral Gaussian digunakan kerap kali dalam rumus integral lintasan dari teori medan kuantumː

• ∫ exp ⁡ [ − θ T A η ]   d θ   d η = det A {\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}A\eta \right]\ \mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \eta =\det A}

dengan A {\displaystyle A} menjadi sebuah matriks n × n {\displaystyle n\times n} yang kompleks.

∫ exp ⁡ [ − 1 2 θ T M θ ] d θ = { P f M n  genap 0 n  ganjil {\displaystyle \int \exp \left[-{\tfrac {1}{2}}\theta ^{T}M\theta \right]\,\mathrm {d} \theta ={\begin{cases}\mathrm {Pf} \,M&n{\mbox{ genap}}\\0&n{\mbox{ ganjil}}\end{cases}}}

dengan M {\displaystyle M} menjadi sebuah matriks miring simetris n × n {\displaystyle n\times n} yang kompleks, dan Pf   M {\displaystyle {\text{Pf}}\ M} menjadi Pfaffian dari M {\displaystyle M} M {\displaystyle M} , yang memenuhi ( Pf   M ) 2 = det M {\displaystyle ({\text{Pf}}\ M)^{2}=\det M} .

Rumus di atas, notasi d θ = d θ 1 ⋯ d θ n {\displaystyle \mathrm {d} \theta =\mathrm {d} \theta _{1}\cdots \mathrm {d} \theta _{n}} digunakan. Dari rumus-rumus ini, rumus berguna lainnya berikutː

• ∫ exp ⁡ [ − ( θ T A η + θ T J + K T η ) ] d θ d η = det A exp ⁡ [ − K T A − 1 J ] {\displaystyle \int \exp \left[-\left(\theta ^{T}A\eta +\theta ^{T}J+K^{T}\eta \right)\right]\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \eta =\det A\,\,\exp[-K^{T}A^{-1}J]}

dengan A {\displaystyle A} menjadi sebuah matriks n × n {\displaystyle n\times n} invertible. Catatan bahwa integral-integral ini semuanya dalam bentuk dari fungsi partisi.

Sejarah

Teori matematika dari integral dengan variabel komuter dan antikomuter ditemukan dan dikembangkan oleh Felix Berezin.^[2] Beberapa wawasan awal yang penting dibuat oleh David John Candlin^[3] di tahun 1956. Penulis lainnya berkontribusi pengembangan ini, termasuk ahli limu fisika Khalatnikov^[4] (meskipun makalahnya memiliki kesalahan), Matthews dan Salam,^[5] dan Martin.^[5]

Literatur

• Theodore Voronov: Geometric integration theory on Supermanifolds, Harwood Academic Publisher, ISBN3-7186-5199-8
• Berezin, Felix Alexandrovich: Introduction to Superanalysis, Springer Netherlands, ISBN978-90-277-1668-2

Lihat Pula

• Supermanifold
• Berezinian

Referensi

1. ↑ Mirror symmetry. Hori, Kentaro. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003. hlm. 155. ISBN 0-8218-2955-6. OCLC 52374327.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Lain-lain (link)
2. ↑ A. Berezin, The Method of Second Quantization, Academic Press, (1966)
3. ↑ D.J. Candlin (1956). "On Sums over Trajectories for Systems With Fermi Statistics". Nuovo Cimento. 4 (2): 231–239. Bibcode:1956NCim....4..231C. doi:10.1007/BF02745446.
4. ↑ Khalatnikov, I.M. (1955). "Predstavlenie funkzij Grina v kvantovoj elektrodinamike v forme kontinualjnyh integralov" [The Representation of Green's Function in Quantum Electrodynamics in the Form of Continual Integrals] (PDF). Journal of Experimental and Theoretical Physics (dalam bahasa Rusia). 28 (3): 633. Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2021-04-19. Diakses tanggal 2020-09-14.
5. 1 2 Matthews, P. T.; Salam, A. (1955). "Propagators of quantized field". Il Nuovo Cimento. 2 (1). Springer Science and Business Media LLC: 120–134. doi:10.1007/bf02856011. ISSN 0029-6341.