Bilangan kardinal

Dalam matematika, bilangan kardinal adalah jenis bilangan yang digunakan untuk mengukur kardinalitas suatu himpunan, yaitu seberapa banyak elemen yang terkandung di dalamnya. Bilangan kardinal yang berkaitan dengan suatu himpunan ⁠ A {\displaystyle A} $A$ ⁠ umumnya dilambangkan dengan ⁠ | A | {\displaystyle \vert A\vert } $\vert A\vert$ ⁠, yaitu huruf yang diapit oleh dua garis vertikal.^[1] Selain itu, kardinalitas juga dapat dituliskan dengan simbol A {\displaystyle A} $A$ , card ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {card} (A)} $\operatorname {card} (A)$ , atau # A {\displaystyle \#A} $\#A$ .^[8]

Bilangan ini pertama kali ditemukan oleh Georg Cantor pada tahun 1874.

Definisi formal

Secara formal, urutan di antara bilangan kardinal didefinisikan sebagai berikut: |X| ≤ |Y| berarti bahwa ada fungsi injektif dari X ke Y. Teorema Cantor–Bernstein–Schroeder menyatakan jika |X| ≤ |Y| dan |Y| ≤ |X| maka |X| = |Y|. Aksioma pilihan setara dengan pernyataan yang diberikan dua set X dan Y, baik |X| ≤ |Y| maupun |Y| ≤ |X|.^[9]^[10]

Lihat pula

Bilangan ordinal

Referensi

↑ Hrbáček & Jech 2017, hlm. 65 harvnb error: tanpa target: CITEREFHrbáčekJech2017 (bantuan)
↑ Kuratowski 1968, hlm. 174. sfn error: tanpa target: CITEREFKuratowski1968 (bantuan)
↑ Suppes 1972, hlm. 109. sfn error: tanpa target: CITEREFSuppes1972 (bantuan)
↑ Bourbaki 1968, hlm. 158. sfn error: tanpa target: CITEREFBourbaki1968 (bantuan)
↑ Enderton 1977, hlm. 136. sfn error: tanpa target: CITEREFEnderton1977 (bantuan)
↑ Halmos 1998, hlm. 53. sfn error: tanpa target: CITEREFHalmos1998 (bantuan)
↑ Tao 2022, hlm. 60. sfn error: tanpa target: CITEREFTao2022 (bantuan)
↑ A {\displaystyle A} $A$ ^[2]^[3]
card ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {card} (A)} $\operatorname {card} (A)$ ^[4]^[5]
# A {\displaystyle \#A} $\#A$ ^[6]^[7]
↑ Enderton, Herbert. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977. ISBN 0-12-238440-7
↑ Friedrich M. Hartogs (1915), Felix Klein; Walther von Dyck; David Hilbert; Otto Blumenthal (ed.), "Über das Problem der Wohlordnung", Math. Ann., Bd. 76 (4), Leipzig: B. G. Teubner: 438–443, doi:10.1007/bf01458215, ISSN 0025-5831

Pranala luar

Cardinality at ProvenMath formal proofs of the basic theorems on cardinality.
Undergraduate Set Theory^{[pranala nonaktif permanen]} more proofs about cardinality - includes proof of infinite cardinal addition in Section 4.2.

l b s Sistem bilangan
Himpunan terhitung	Bilangan asli ( N {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} } $\scriptstyle \mathbb {N}$ ) Bilangan bulat ( Z {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} } $\scriptstyle \mathbb {Z}$ ) Bilangan rasional ( Q {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} } $\scriptstyle \mathbb {Q}$ ) Bilangan aljabar ( Q ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}} $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ ) Perioda Bilangan terkomputasi Bilangan aritmetis
Bilangan riil dan cabangan	Bilangan riil ( R {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } $\scriptstyle \mathbb {R}$ ) Bilangan kompleks ( C {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} } $\scriptstyle \mathbb {C}$ ) Kuaternion ( H {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} } $\scriptstyle \mathbb {H}$ ) Oktonion ( O {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} } $\scriptstyle \mathbb {O}$ ) Sedenion ( S {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} } $\scriptstyle \mathbb {S}$ ) Aljabar Cayley–Dickson Bilangan rangkap Bilangan kompleks hiperbolik Bilangan hiperkompleks Bilangan superreal Bilangan irasional Bilangan transenden Bilangan hiperreal Bilangan surreal
Sistem lain	Bilangan kardinal Bilangan ordinal Bilangan p-adik Bilangan supernatural

l b s Teori himpunan
Umum	Himpunan (matematika)
Aksioma	Adjungsi Batas ukuran Determinasi Gabungan Himpunan kuasa Keberaturan Kebisadibangunan (V=L) Perluasan Pasangan Pemilihan tercacah terikat global Takhingga Aksioma Martin Skema aksioma penggantian spesifikasi
Operasi	Gabungan Gabungan lepas Himpunan kuasa Hukum De Morgan Irisan Komplemen Produk Kartesius Selisih himpunan Beda setangkup
Konsep Metode	Argumen diagonal Bilangan kardinal (besar) Bilangan ordinal Diagram Venn Elemen pasangan terurut rangkap Hipotesis kontinum Induksi lintas-hingga Kardinalitas Kelas Keluarga Korespondensi satu-ke-satu Pemaksaan Semesta yang bisa dibangun
Jenis himpunan	Himpunan bagian · Superhimpunan Berhingga (turun-temurun) Takhingga (takhingga Dedekind) Kabur Kosong Rekursif Semesta Tercacah Tak tercacah Transitif
Teori	Aksiomatik Alternatif Naif Teorema Cantor Zermelo Umum Principia Mathematica New Foundations (NF, NFU) Zermelo–Fraenkel (ZFC) von Neumann–Bernays–Gödel (NBG) Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoks Masalah	Paradoks Russell Masalah Suslin Paradoks Burali-Forti
Teoretisi himpunan	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Thoralf Skolem Willard Quine