Medan bilangan aljabar

Dalam matematika, medan bilangan aljabar (atau lebih sederhana bilangan medan) F adalah derajat (dan karenanya aljabar) ekstensi medan dari medan dari bilangan rasional Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Jadi F adalah medan yang berisi Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dan memiliki dimensi jika dianggap sebagai ruang vektor atas ' Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .

Studi tentang medan bilangan aljabar, dan, secara lebih umum, perluasan aljabar medan bilangan rasional, adalah topik utama teori bilangan aljabar.

Definisi

Prasyarat

Pengertian medan bilangan aljabar bergantung pada konsep sebuah medan. Medan terdiri dari himpunan elemen bersama-sama dengan dua operasi, yaitu penambahan, dan perkalian, dan beberapa asumsi distributivitas. Contoh medan yang menonjol adalah medan bilangan rasional, biasanya dilambangkan Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , bersama dengan operasi penjumlahan dan perkaliannya yang biasa.

Gagasan lain yang diperlukan untuk mendefinisikan medan bilangan aljabar adalah ruang vektor. Sejauh yang dibutuhkan di sini, ruang vektor dapat dianggap terdiri dari urutan (atau rbilanganp)

( x 1 , x 2 , … ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}

yang entri adalah elemen dari medan tetap, seperti medan Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Dua urutan seperti itu dapat ditambahkan dengan menambahkan entri satu per satu. Selanjutnya, urutan apa pun dapat dikalikan dengan satu elemen c dari medan tetap. Kedua operasi ini dikenal sebagai penambahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sejumlah sifat yang berfungsi untuk mendefinisikan ruang vektor secara abstrak. Ruang vektor diperbolehkan untuk menjadi "berdimensi tak hingga", artinya deretan yang menyusun ruang vektor memiliki panjang tak hingga. Namun, jika ruang vektor terdiri dari urutan hingga

( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} ,

ruang vektor dikatakan berhingga dimensi, n.

Definisi

Medan bilangan aljabar (atau hanya medan bilangan) adalah terbatas dari derajat ekstensi medan dari medan bilangan rasional. Di sini derajat berarti dimensi medan sebagai ruang vektor atas Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .

Contoh

• Medan bilangan terkecil dan paling dasar adalah medan Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dari bilangan rasional. Banyak sifat medan bilangan umum dimodelkan himpunanelah sifat Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .
• Bilangan rasional Gauss, dilambbilangann Q ( i ) {\displaystyle \mathbb {Q} (i)} (dibaca sebagai " Q {\displaystyle \mathbb {Q} } berdampingan i {\displaystyle i} "), membentuk contoh taktrivial pertama dari medan bilangan. Unsur-unsurnya adalah ekspresi bentuk

a + b i {\displaystyle a+bi}

di mana a {\displaystyle a} dan b {\displaystyle b} adalah bilangan rasional dan i {\displaystyle i} adalah satuan imajiner. Ekspresi seperti itu dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikalikan sesuai dengan aturan aritmetika biasa dan kemudian disederhanakan

i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} .

Secara eksplisit,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Bilangan rasional Gauss bukan nol adalah terbalikkan, yang dapat dilihat dari identitasnya

( a + b i ) ( a a 2 + b 2 − b a 2 + b 2 i ) = ( a + b i ) ( a − b i ) a 2 + b 2 = 1. {\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}

Oleh karena itu, rasio Gauss membentuk medan bilangan yang berdimensi dua sebagai vektor ruang Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .

• Secara lebih umum, untuk bilangan bulat bebas kuadrat d , medan kuadrat Q ( d ) {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} adalah medan bilangan yang diperoleh dengan menghubungkan akar kuadrat d dengan medan bilangan rasional. Operasi aritmetika dalam medan ini didefinisikan dalam analogi dengan kasus bilangan rasional Gauss, d = − 1.

• medan siklotomik

Q ( ζ n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})} , di mana ζ n = exp ⁡ ( 2 π i n ) {\displaystyle \zeta _{n}=\exp \left({\frac {2\pi i}{n}}\right)}

adalah medan bilangan yang diperoleh dari Q {\displaystyle \mathbb {Q} } dengan menyatukan akar kesatuan primitif ke n ζ_n. medan ini berisi semua akar kesatuan yang kompleks dan dimensinya Q {\displaystyle \mathbb {Q} } adalah sama dengan φ(n), di mana φ adalah Fungsi phi Euler.

• Bilangan riil, R {\displaystyle \mathbb {R} } , dan bilangan kompleks, C {\displaystyle \mathbb {C} } , adalah medan yang memiliki dimensi tak hingga sebagai Q {\displaystyle \mathbb {Q} } pada ruang vektor, oleh karena itu, medan tersebut adalah medan bilangan bukan . Ini mengikuti dari terhitung dari R {\displaystyle \mathbb {R} } dan C {\displaystyle \mathbb {C} } sebagai himpunan, sedangkan setiap medan bilangan harus dihitung.
• Himpunan Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}} dari pasangan terurut bilangan rasional, dengan penambahan dan perkalian entrywise adalah aljabar komutatif dua dimensi Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . Namun, ini bukan medan, karena memiliki pembagi nol:

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

Fungsi- ζ {\displaystyle \zeta } , fungsi- L {\displaystyle L} dan rumus bilangan kelas

Kegagalan faktorisasi unik diukur dengan bilangan kelas, biasanya dilambangkan dengan h {\displaystyle h} , kardinalitas dari apa yang disebut grup kelas ideal. Grup ini selalu terhingga. Gelanggang bilangan bulat O F {\displaystyle O_{F}} memiliki faktorisasi unik jika dan hanya jika itu adalah gelanggang utama atau, setara, jika F memiliki bilangan kelas 1. Mengingat medan bilangan, nomor kelas sering kali sulit dihitung. Masalah bilangan kelas, kembali ke Gauss, berkaitan dengan keberadaan medan bilangan kuadrat imajiner (yaitu, Q ( d ) , d ≥ 1 {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}}),d\geq 1} ) dengan nomor kelas yang ditentukan. Rumus nomor kelas menghubungkan h dengan invarian dasar lainnya dari F . Ini melibatkan Fungsi zeta Dedekind ζ F ( s ) {\displaystyle \zeta _{F}(s)} , berfungsi dalam variabel kompleks s, didefinisikan oleh

ζ F ( s ) := ∏ p 1 1 − N ( p ) − s {\displaystyle \zeta _{F}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}} .

(Produk melampaui semua cita-cita utama O_F, N ( p ) {\displaystyle N({\mathfrak {p}})} menunjukkan norma ideal prima atau, setara, jumlah elemen (terbatas) dalam medan residu O F / p {\displaystyle O_{F}/{\mathfrak {p}}} . Produk tak terbatas hanya menyatu untuk Re(s) > 1, secara umum kelanjutan analitik dan persamaan fungsional untuk fungsi zeta diperlukan untuk mendefinisikan fungsi untuk semua 's'). Fungsi Dedekind zeta menggeneralisasi fungsi zeta Riemann ζ Q ( s ) = ζ ( s ) {\displaystyle \zeta _{\mathbb {Q} }(s)=\zeta (s)} .

Rumus nomor kelas menyatakan itu ζ_F(s) memiliki tiang sederhana pada s = 1 {\displaystyle s=1} dan pada titik ini residu diberikan oleh

2 r 1 ⋅ ( 2 π ) r 2 ⋅ h ⋅ Reg w ⋅ | D | {\displaystyle {\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}} .

Lihat juga

• Teorema satuan Dirichlet, Satuan-S
• Perluasan Kummer
• Teorema Minkowski, Bilangan geometri
• Teorema kepadatan Chebotarev
• Grup kelas Ray
• Grup penguraian
• Medan genus

Catatan

Referensi

• Cohn, Harvey (1988), A Classical Invitation to Algebraic Numbers and Class Fields, Universitext, New York: Springer-Verlag
• Conrad, Keith http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic Number Fields (Edisi 2nd), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2
• Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (Edisi 3), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6, MR 2078267
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR 1697859, Zbl 0956.11021
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196, Zbl 1136.11001
• André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995