Teorema Midy

Dalam matematika, Teorema Midy, dinamai dari ahli matematika Prancis E. Midy,^[1] adalah sebuah pernyataan tentang ekspansi desimal dari pecahan a/p di mana p adalah suatu bilangan prima dan a/p memiliki bilangan desimal berulang dengan periode genap (barisan A028416 pada OEIS). Jika periode dari representasi desimal a/p adalah 2n, sehingga

a p = 0. a 1 a 2 a 3 … a n a n + 1 … a 2 n ¯ {\displaystyle {\frac {a}{p}}=0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\dots a_{n}a_{n+1}\dots a_{2n}}}}

maka digit pada paruh kedua dari periode desimal berulang merupakan komplemen 9 dari digit yang bersesuaian pada paruh pertamanya. Dengan kata lain,

a i + a i + n = 9 {\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=9} a 1 … a n + a n + 1 … a 2 n = 10 n − 1. {\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=10^{n}-1.}

Sebagai contoh,

1 13 = 0. 076923 ¯  dan  076 + 923 = 999. {\displaystyle {\frac {1}{13}}=0.{\overline {076923}}{\text{ dan }}076+923=999.} 1 17 = 0. 0588235294117647 ¯  dan  05882352 + 94117647 = 99999999. {\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}{\text{ dan }}05882352+94117647=99999999.}

Teorema Midy yang diperluas

Jika k adalah suatu pembagi dari h (di mana h adalah banyaknya digit periode dari ekspansi desimal a/p (di mana p kembali merupakan bilangan prima)), maka teorema Midy dapat digeneralisasi sebagai berikut. Teorema Midy yang diperluas^[2] menyatakan bahwa jika bagian berulang dari ekspansi desimal a/p dibagi menjadi angka-angka yang masing-masing terdiri dari k digit, maka jumlahnya merupakan kelipatan dari 10^k – 1.

Sebagai contoh, 1 19 = 0. 052631578947368421 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}} memiliki periode 18. Membagi bagian berulang menjadi angka-angka 6 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 052631 + 578947 + 368421 = 999999. {\displaystyle 052631+578947+368421=999999.} Demikian pula, membaginya menjadi angka-angka 3 digit dan menjumlahkannya menghasilkan 052 + 631 + 578 + 947 + 368 + 421 = 2997 = 3 × 999. {\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times 999.}

Teorema Midy pada basis lain

Teorema Midy dan perluasannya tidak bergantung pada sifat khusus ekspansi desimal, melainkan bekerja sama baiknya pada basis b apa pun, asalkan kita mengganti 10^k – 1 dengan b^k – 1 dan melakukan penjumlahan dalam basis b.

Sebagai contoh, dalam oktal

1 19 = 0. 032745 ¯ 8 032 8 + 745 8 = 777 8 03 8 + 27 8 + 45 8 = 77 8 . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}\\[8pt]&032_{8}+745_{8}=777_{8}\\[8pt]&03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.\end{aligned}}}

Dalam dozenal (menggunakan dua dan tiga terbalik untuk sepuluh dan sebelas)

1 19 = 0. 076 E 45 ¯ ∗ 12 [ 8 p t ] 076 ∗ 12 + E 45 12 = E E E ∗ 12 [ 8 p t ] 07 ∗ 12 + 6 E ∗ 12 + 45 ∗ 12 = E E 12 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{19}}=0.{\overline {076{\mathcal {E}}45}}*{12}[8pt]&076*{12}+{\mathcal {E}}45_{12}={\mathcal {EEE}}*{12}[8pt]&07*{12}+6{\mathcal {E}}*{12}+45*{12}={\mathcal {EE}}_{12}\end{aligned}}}

Pembuktian Teorema Midy

Pembuktian singkat dari teorema Midy dapat diberikan menggunakan hasil dari teori grup. Namun, teorema Midy juga dapat dibuktikan menggunakan aljabar elementer dan aritmetika modular:

Misalkan p bilangan prima dan a/p pecahan antara 0 dan 1. Misalkan ekspansi a/p pada basis b memiliki periode ℓ, sehingga

a p = [ 0. a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] b ⇒ a p b ℓ = [ a 1 a 2 … a ℓ . a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] b ⇒ a p b ℓ = N + [ 0. a 1 a 2 … a ℓ ¯ ] b = N + a p ⇒ a p = N b ℓ − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=[a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{\ell }=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{\ell }}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}\\[6pt]&\Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{\ell }-1}}\end{aligned}}}

di mana N adalah bilangan bulat yang ekspansinya dalam basis b adalah string a₁a₂...a_ℓ.

Perhatikan bahwa b^ℓ – 1 merupakan kelipatan p karena (b^ℓ – 1)a/p adalah bilangan bulat. Juga bⁿ – 1 bukan kelipatan p untuk nilai n yang lebih kecil dari ℓ, karena jika tidak periode berulang dari a/p akan kurang dari ℓ.

Sekarang misalkan ℓ = hk. Maka b^ℓ – 1 merupakan kelipatan dari b^k – 1. (Untuk melihat ini, gantikan x untuk b^k; maka b^ℓ = x^h dan x – 1 adalah faktor dari x^h – 1.) Misalkan b^ℓ – 1 = m(b^k – 1), sehingga

a p = N m ( b k − 1 ) . {\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}

Tetapi b^ℓ – 1 merupakan kelipatan p; b^k – 1 **bukan** kelipatan p (karena k kurang dari ℓ ); dan p prima; sehingga m harus merupakan kelipatan p dan

a m p = N b k − 1 {\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}

adalah bilangan bulat. Dengan kata lain,

N ≡ 0 ( mod b k − 1 ) . {\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}

Sekarang bagi string a₁a₂...a_ℓ menjadi h bagian sama panjang k, dan biarkan ini merepresentasikan bilangan bulat N₀...N_h–1 dalam basis b, sehingga

N h − 1 = [ a 1 … a k ] b N h − 2 = [ a k + 1 … a 2 k ] b     ⋮ N 0 = [ a l − k + 1 … a l ] b {\displaystyle {\begin{aligned}N_{h-1}&=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}\\N_{h-2}&=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}\\&{}\ \ \vdots \\N_{0}&=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}\end{aligned}}}

Untuk membuktikan teorema Midy yang diperluas pada basis b, kita harus menunjukkan bahwa jumlah dari h bilangan N_i merupakan kelipatan dari b^k – 1.

Karena b^k kongruen dengan 1 modulo b^k – 1, maka setiap pangkat b^k juga kongruen dengan 1 modulo b^k – 1. Maka

N = ∑ i = 0 h − 1 N i b i k = ∑ i = 0 h − 1 N i ( b k ) i {\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}} ⇒ N ≡ ∑ i = 0 h − 1 N i ( mod b k − 1 ) {\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}} ⇒ ∑ i = 0 h − 1 N i ≡ 0 ( mod b k − 1 ) {\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}

yang membuktikan teorema Midy yang diperluas di basis b.

Untuk membuktikan teorema Midy yang asli, ambil kasus khusus di mana h = 2. Perhatikan bahwa N₀ dan N₁ keduanya direpresentasikan oleh string k digit pada basis b, sehingga keduanya memenuhi

0 ≤ N i ≤ b k − 1. {\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}

N₀ dan N₁ tidak mungkin keduanya sama dengan 0 (jika tidak a/p = 0) dan tidak mungkin keduanya sama dengan b^k – 1 (jika tidak a/p = 1), sehingga

0 < N 0 + N 1 < 2 ( b k − 1 ) {\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}

dan karena N₀ + N₁ adalah kelipatan dari b^k – 1, maka dapat disimpulkan bahwa

N 0 + N 1 = b k − 1. {\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}

Korolari

Dari hal di atas, a m p {\displaystyle {\frac {am}{p}}} adalah bilangan bulat

Maka m ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle m\equiv 0{\pmod {p}}}

Dan untuk k = ℓ 2 {\displaystyle k={\frac {\ell }{2}}}

b ℓ / 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle b^{\ell /2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}

Untuk k = ℓ 3 {\displaystyle k={\frac {\ell }{3}}} dan merupakan bilangan bulat

b 2 ℓ / 3 + b ℓ / 3 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle b^{2\ell /3}+b^{\ell /3}+1\equiv 0{\pmod {p}}}

dan seterusnya.

Referensi

Sumber

Pranala luar

• (Inggris)Weisstein, Eric W. "Midy's Theorem". MathWorld.