Teorema faktor

Dalam aljabar, teorema faktor adalah teorema yang menghubungkan faktor-faktor dari suatu polinomial dengan nilai dari akar-akarnya. Lebih tepatnya, jika f ( x ) {\displaystyle f(x)} merupakan polinomial univariat, maka ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} merupakan faktor dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} jika dan hanya jika nilai f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} (atau dengan kata lain, a {\displaystyle a} merupakan akar dari polinomial f {\displaystyle f} ). Teorema ini adalah kasus khusus dari teorema sisa polinomial.^[1][2]

Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika elemen a {\displaystyle a} dan setiap koefisien dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} merupakan anggota dari sembarang gelanggang komutatif, tidak hanya lapangan.

Faktorisasi polinomial

Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya setara.

Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:^[3]

1. Dengan menggunakan teorema akar rasional, tentukan kandidat nilai akar a {\displaystyle a} dari polinomial f ( x ) {\displaystyle f(x)} berdasarkan koefisien utamanya (yaitu a n {\displaystyle a_{n}} ) serta suku konstantanya (yaitu a 0 {\displaystyle a_{0}} ).
2. Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} merupakan faktor dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} .
3. Carilah polinomial g ( x ) = f ( x ) x − a {\displaystyle g(x)={\dfrac {f(x)}{x-a}}} dengan menggunakan pembagian bersusun atau pembagian sintetik.
4. Simpulkan bahwa setiap nilai akar x ≠ a {\displaystyle x\neq a} dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} juga merupakan akar dari g ( x ) {\displaystyle g(x)} . Oleh karena derajat polinomial g {\displaystyle g} ialah satu kurangnya dari derajat polinomial f {\displaystyle f} , maka lebih "sederhana" untuk mencari nilai-nilai akar yang tersisa dengan meninjau polinomial g ( x ) {\displaystyle g(x)} .

Proses ini dilanjutkan hingga polinomial f {\displaystyle f} terfaktorkan sepenuhnya, dimana semua faktornya taktereduksi pada R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} atau C [ x ] {\displaystyle \mathbb {C} [x]} .

Contoh

Untuk mencari faktor-faktor dari p ( x ) = x 3 + 7 x 2 + 8 x + 2 {\displaystyle p(x)=x^{3}+7x^{2}+8x+2} , perhatikan bahwa konstanta pada p ( x ) {\displaystyle p(x)} ialah 2 sedangkan koefisien utamanya ialah 1, sehingga berdasarkan teorema akar rasional, terdapat 4 kandidat akar rasional dari p ( x ) {\displaystyle p(x)} , yaitu ± 1 {\displaystyle \pm 1} dan ± 2 {\displaystyle \pm 2} . Setelah melalui proses coba-coba, maka diperoleh − 1 {\displaystyle -1} sebagai akar dari polinomial p ( x ) {\displaystyle p(x)} : p ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 + 7 ( − 1 ) 2 + 8 ( − 1 ) + 2 = − 1 + 7 − 8 + 2 = 0 {\displaystyle p(-1)=(-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2=-1+7-8+2=0} Akibatnya, ( x − ( − 1 ) ) {\displaystyle (x-(-1))} (atau ( x + 1 ) {\displaystyle (x+1)} ) merupakan faktor dari p ( x ) {\displaystyle p(x)} . Dengan membagi p ( x ) {\displaystyle p(x)} oleh ( x − 1 ) {\displaystyle (x-1)} , maka diperoleh polinomial x 2 + 6 x + 2 {\displaystyle x^{2}+6x+2} , sehingga dapat disimpulkan bahwa p ( x ) = ( x 2 + 6 x + 2 ) ( x + 1 ) {\displaystyle p(x)=(x^{2}+6x+2)(x+1)}

Faktor kuadrat dari p ( x ) {\displaystyle p(x)} dapat difaktorkan lebih lanjut dengan menggunakan rumus kuadrat, yang menghasilkan akar-akar kuadrat − 3 ± 7 {\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}} . Dengan demikian, tiga faktor linier dari p ( x ) {\displaystyle p(x)} ialah x + 1 {\displaystyle x+1} , x − ( − 3 + 7 ) {\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}})} , dan x − ( − 3 − 7 ) {\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}})} .

Bukti

Terdapat beberapa cara untuk membuktikan teorema faktor.

Jika x − a {\displaystyle x-a} merupakan faktor dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} , maka jelas bahwa f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} , sehingga semua pembuktian berikut akan membahas bagian kedua dari teorema faktor.

Bukti 1

Pertama, akan ditunjukkan bahwa teorema faktor berlaku untuk kasus a = 0 {\displaystyle a=0} . Dengan kata lain, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap polinomial f ( x ) {\displaystyle f(x)} dengan f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} , maka terdapat suatu polinomial g ( x ) {\displaystyle g(x)} sedemikian sehingga f ( x ) = x ⋅ g ( x ) {\displaystyle f(x)=x\cdot g(x)} . Diketahui bahwa f ( x ) {\displaystyle f(x)} adalah suatu polinomial, maka f {\displaystyle f} memiliki bentuk umum f ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … + c n x n {\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}} Berdasarkan bentuk umum tersebut, perhatikan bahwa f ( 0 ) = c 0 {\displaystyle f(0)=c_{0}} . Oleh karena f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} , maka diperoleh c 0 = 0 {\displaystyle c_{0}=0} . Akibatnya, diperoleh f ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … + c n x n = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … + c n x n = x ( c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + … + c n x n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}\\&=c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}\\&=x\left(c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\ldots +c_{n}x^{n-1}\right)\end{aligned}}} sehingga dengan memilih g ( x ) {\displaystyle g(x)} sebagai polinomial c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + … + c n x n − 1 {\displaystyle c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}+\ldots +c_{n}x^{n-1}} , maka teorema faktor untuk kasus a = 0 {\displaystyle a=0} terbukti benar.

Selanjutnya, akan dibuktikan teorema faktor untuk sembarang nilai a {\displaystyle a} dengan memanfaatkan kebenaran kasus a = 0 {\displaystyle a=0} . Diketahui bahwa f ( x ) {\displaystyle f(x)} adalah suatu polinomial dengan f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} . Perhatikan bahwa polinomial f ( x + a ) {\displaystyle f(x+a)} memiliki akar di x = 0 {\displaystyle x=0} . Berdasarkan kasus sebelumnya, maka terdapat suatu polinomial h ( x ) {\displaystyle h(x)} sedemikian sehingga f ( x + a ) = x ⋅ h ( x ) {\displaystyle f(x+a)=x\cdot h(x)} . Akibatnya, f ( x ) = f ( ( x − a ) + a ) = ( x − a ) ⋅ h ( x − a ) {\displaystyle f(x)=f((x-a)+a)=(x-a)\cdot h(x-a)} Dengan kata lain, terbukti bahwa ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} merupakan faktor dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} .

Bukti 2

Jika R {\displaystyle R} adalah gelanggang komutatif, maka untuk sembarang k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } dan untuk setiap x {\displaystyle x} , y ∈ R {\displaystyle y\in R} , berlaku identitas x k − y k = ( x − y ) ( x k − 1 + x k − 2 y + x k − 3 y 2 + … + x 2 y k − 3 + x y k − 2 + y k − 1 ) {\displaystyle x^{k}-y^{k}=(x-y)\left(x^{k-1}+x^{k-2}y+x^{k-3}y^{2}+\ldots +x^{2}y^{k-3}+xy^{k-2}+y^{k-1}\right)} Hal ini dapat dibuktikan dengan menjabarkan ruas kanan dari persamaan tersebut.

Diambil sembarang gelanggang komutatif R {\displaystyle R} dan sembarang polinomial f ( x ) ∈ R [ x ] {\displaystyle f(x)\in R[x]} . Oleh karena f ( x ) {\displaystyle f(x)} adalah polinomial, maka f ( x ) {\displaystyle f(x)} dapat dinyatakan sebagai f ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … + c n x n {\displaystyle f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\ldots +c_{n}x^{n}} Diketahui bahwa f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} . Akibatnya, didapatkan

f ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + … + c n x n f ( a ) = c 0 + c 1 a + c 2 a 2 + c 3 a 3 + … + c n a n − f ( x ) − f ( a ) = 0 + c 1 ( x − a ) + c 2 ( x 2 − a 2 ) + c 3 ( x 3 − a 3 ) + … + c n ( x n − a n ) {\displaystyle {\begin{array}{rccccccccccclcr}f(x)&=&c_{0}&+&c_{1}x&+&c_{2}x^{2}&+&c_{3}x^{3}&+&\ldots &+&c_{n}x^{n}&&\\f(a)&=&c_{0}&+&c_{1}a&+&c_{2}a^{2}&+&c_{3}a^{3}&+&\ldots &+&c_{n}a^{n}&&-\\\hline f(x)-f(a)&=&0&+&c_{1}(x-a)&+&c_{2}(x^{2}-a^{2})&+&c_{3}(x^{3}-a^{3})&+&\ldots &+&c_{n}(x^{n}-a^{n})\end{array}}}

Dengan menggunakan notasi Sigma serta identitas x k − y k {\displaystyle x^{k}-y^{k}} yang telah dibahas sebelumnya, maka

f ( x ) − f ( a ) = ∑ k = 1 n c n ( x k − a k ) f ( x ) = ∑ k = 1 n c n ( x − a ) ( x k − 1 + x k − 2 a + x k − 3 a 2 + … + x 2 a k − 3 + x a k − 2 + a k − 1 ) = ( x − a ) ⋅ ∑ k = 1 n c n ( x k − 1 + x k − 2 a + x k − 3 a 2 + … + x 2 a k − 3 + x a k − 2 + a k − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-f(a)&=\sum _{k\,=\,1}^{n}c_{n}(x^{k}-a^{k})\\f(x)&=\sum _{k\,=\,1}^{n}c_{n}(x-a)\left(x^{k-1}+x^{k-2}a+x^{k-3}a^{2}+\ldots +x^{2}a^{k-3}+xa^{k-2}+a^{k-1}\right)\\&=(x-a)\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}c_{n}(x^{k-1}+x^{k-2}a+x^{k-3}a^{2}+\ldots +x^{2}a^{k-3}+xa^{k-2}+a^{k-1})\end{aligned}}}

sehingga terbukti bahwa ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} merupakan faktor dari f ( x ) {\displaystyle f(x)} .

Bukti 3

Diberikan suatu polinomial F ( x ) {\displaystyle F(x)} sedemikian sehingga F ( a ) = 0 {\displaystyle F(a)=0} . Berdasarkan teorema pembagian polinomial, maka terdapat suatu polinomial H ( x ) {\displaystyle H(x)} dan S ( x ) {\displaystyle S(x)} sedemikian sehingga F ( x ) = ( x − a ) ⋅ H ( x ) + S ( x ) {\displaystyle F(x)=(x-a)\cdot H(x)+S(x)} dengan deg ⁡ ( S ) < deg ⁡ ( x − a ) {\displaystyle \deg(S)<\deg(x-a)} . Oleh karena deg ⁡ ( x − a ) = 1 {\displaystyle \deg(x-a)=1} , maka S {\displaystyle S} merupakan suatu fungsi konstan. Dengan menyubstitusikan x = a {\displaystyle x=a} ke persamaan di atas, perhatikan bahwa F ( a ) = S ( a ) {\displaystyle F(a)=S(a)} . Diketahui bahwa F ( a ) = 0 {\displaystyle F(a)=0} dan S {\displaystyle S} merupakan suatu fungsi konstan, maka didapatkan S ( x ) = 0 {\displaystyle S(x)=0} untuk setiap nilai x {\displaystyle x} . Akibatnya, F ( x ) = ( x − a ) ⋅ H ( x ) {\displaystyle F(x)=(x-a)\cdot H(x)}

Pembagian bersisa di atas dapat dilakukan pada setiap gelanggang komutatif, sebab ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} merupakan polinomial monik, sehingga proses pembagian bersusun polinomialnya tidak melibatkan operasi pembagian pada koefisien-koefisien polinomialnya.

Referensi