Teorema akar rasional

x 3 − 4 x 2 + 2 x − 8 = 0 {\displaystyle x^{3}-4x^{2}+2x-8=0} $x^{3}-4x^{2}+2x-8=0$
Nilai x {\displaystyle x} $x$	Nilai P ( x ) {\displaystyle P(x)} $P(x)$
− 8 {\displaystyle -8} $-8$	− 792 {\displaystyle -792} $-792$
− 4 {\displaystyle -4} $-4$	− 144 {\displaystyle -144} $-144$
− 2 {\displaystyle -2} $-2$	− 36 {\displaystyle -36} $-36$
− 1 {\displaystyle -1} $-1$	− 15 {\displaystyle -15} $-15$
1 {\displaystyle 1} $1$	− 9 {\displaystyle -9} $-9$
2 {\displaystyle 2} $2$	− 12 {\displaystyle -12} $-12$
4 {\displaystyle 4} $4$	0 {\displaystyle 0} $0$
8 {\displaystyle 8} $8$	264 {\displaystyle 264} $264$

Teorema akar rasional atau uji akar rasional^[1] atau teorema rasional nol adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17.^[2]^[1] Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0} $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$ ,

dimana a 0 , … , a n ∈ Z {\displaystyle a_{0},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} } $a_{0},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z}$ . Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

x = { ± faktor dari a 0 ± faktor dari a n } {\displaystyle x=\left\{{\frac {\pm {\text{faktor dari }}a_{0}}{\pm {\text{faktor dari }}a_{n}}}\right\}} $x=\left\{{\frac {\pm {\text{faktor dari }}a_{0}}{\pm {\text{faktor dari }}a_{n}}}\right\}$ ,

asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi x {\displaystyle x} $x$ (adalah bilangan rasional) harus membagi habis a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ dan a 0 {\displaystyle a_{0}} $a_{0}$ .

Misalnya, diberikan persamaan P ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 2 x − 8 = 0 {\displaystyle P(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-8=0} $P(x)=x^{3}-4x^{2}+2x-8=0$ . Pada kasus ini, − 8 {\displaystyle -8} $-8$ memiliki faktor ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 8 {\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8} $\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 8$ dan 1 {\displaystyle 1} $1$ memiliki faktor ± 1 {\displaystyle \pm 1} $\pm 1$ . Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah ± { 1 , 2 , 4 , 8 } {\displaystyle \pm \{1,2,4,8\}} $\pm \{1,2,4,8\}$ . Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai x {\displaystyle x} $x$ agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh x = 4 {\displaystyle x=4} $x=4$ .

Bukti

Misal x = p q {\textstyle x={\frac {p}{q}}} ${\textstyle x={\frac {p}{q}}}$ adalah akar rasional pada persamaan polinomial P ( x ) {\displaystyle P(x)} $P(x)$ . Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa p ∣ a 0 {\displaystyle p\mid a_{0}} $p\mid a_{0}$ dan q ∣ a n {\displaystyle q\mid a_{n}} $q\mid a_{n}$ , dimana FPB ⁡ ( p , q ) = 1 {\displaystyle \operatorname {FPB} (p,q)=1} $\operatorname {FPB} (p,q)=1$ . Substitusi nilai x {\displaystyle x} $x$ sehingga kita memperoleh

a n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) + a 0 = 0 {\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0} $a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0$ .

Kita akan membuktikan bahwa p {\displaystyle p} $p$ membagi habis a 0 {\displaystyle a_{0}} $a_{0}$ . Mula-mula, kita pindah-ruaskan a 0 {\displaystyle a_{0}} $a_{0}$ .

a n ( p q ) n + a n − 1 ( p q ) n − 1 + ⋯ + a 1 ( p q ) = − a 0 {\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)=-a_{0}} $a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)=-a_{0}$ .

Bagi kedua ruas dengan q n {\displaystyle q^{n}} $q^{n}$ dan faktor-keluarkan p {\displaystyle p} $p$ untuk ruas kiri. Kita memperoleh

p ( a n p n − 1 + ⋯ + a 1 ) = − a 0 q n {\displaystyle p\left(a_{n}p^{n-1}+\cdots +a_{1}\right)=-a_{0}q^{n}} $p\left(a_{n}p^{n-1}+\cdots +a_{1}\right)=-a_{0}q^{n}$ .

Disini, kita memperoleh bahwa p {\displaystyle p} $p$ membagi habis a 0 {\displaystyle a_{0}} $a_{0}$ . Sekarang, kita membuktikan q {\displaystyle q} $q$ membagi habis a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ . Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan a n ( p q ) n {\textstyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}} ${\textstyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}}$ dan kalikan kedua ruas dengan q n {\displaystyle q^{n}} $q^{n}$ .

q ( a n − 1 p n − 1 + ⋯ + a 1 p q n + 1 + a 0 q n ) = − a n p n {\displaystyle q\left(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots +a_{1}pq^{n+1}+a_{0}q^{n}\right)=-a_{n}p^{n}} $q\left(a_{n-1}p^{n-1}+\cdots +a_{1}pq^{n+1}+a_{0}q^{n}\right)=-a_{n}p^{n}$ .

Disini, kita memperoleh bahwa q {\displaystyle q} $q$ membagi habis a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ . ◼ {\displaystyle \blacksquare } $\blacksquare$ ^[3]

Rujukan

1 2 "Teorema akar rasional | matematika". Teorema akar rasional | matematika. 2020-06-27. Diarsipkan dari asli tanggal 2021-12-20.
↑ "Sutori". www.sutori.com (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2021-12-23.
↑ "Teorema Akar Rasional". ICHI.PRO. Diakses tanggal 2021-12-20.