Simbol Christoffel

Dalam matematika dan fisika, simbol Christoffel adalah deretan angka yang menggambarkan koneksi metrik.^[1] Sambungan metrik adalah spesialisasi sambungan affine ke permukaan atau manifold lain yang dilengkapi dengan metrik, yang memungkinkan jarak diukur pada permukaan itu.

Dalam geometri diferensial, koneksi affine dapat didefinisikan tanpa mengacu pada metrik, dan banyak konsep tambahan berikut: transpor paralel, turunan kovarian, geodesik, dll. juga tidak memerlukan konsep metrik.^[2][3] Namun, ketika metrik tersedia, konsep ini dapat langsung dikaitkan dengan "bentuk" manifold itu sendiri; bentuk itu ditentukan oleh bagaimana ruang singgung dilekatkan ke ruang kotangen oleh tensor metrik.

Simbol Christoffel memberikan representasi konkret dari koneksi (pseudo-) geometri Riemannian dalam hal koordinat pada manifold. Konsep tambahan, seperti transportasi paralel, geodesik, dll. kemudian dapat dinyatakan dalam simbol Christoffel. Kemudian contohnya dalam ruang Euclidean, simbol Christoffel menggambarkan bagaimana basis koordinat lokal berubah dari titik ke titik.

Simbol Christoffel dinamai oleh Elwin Bruno Christoffel.

Metrik

Dengan diberikan sistem koordinat ruang, ambil contoh untuk ruang 3 dimensi, maka kita bisa menulis metrik sebagai g μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }} dengan index μ , ν = ( 0 , 1 , 2 ) {\displaystyle \mu ,\nu =(0,1,2)} . dan dengan persamaan g μ ν = ∑ k = 0 n = 2 ∂ ζ k ∂ x μ ∂ ζ k ∂ x ν {\displaystyle g_{\mu \nu }={\sum _{k=0}^{n=2}}{\frac {\partial \zeta ^{k}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{k}}{\partial x^{\nu }}}} = ∂ ζ 0 ∂ x μ ∂ ζ 0 ∂ x ν + ∂ ζ 1 ∂ x μ ∂ ζ 1 ∂ x ν + ∂ ζ 2 ∂ x μ ∂ ζ 2 ∂ x ν {\displaystyle {\frac {\partial \zeta ^{0}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{0}}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial \zeta ^{1}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{1}}{\partial x^{\nu }}}+{\frac {\partial \zeta ^{2}}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial \zeta ^{2}}{\partial x^{\nu }}}} , di mana ζ k = {\displaystyle \zeta ^{k}=} komponen fungsi. Ambil contoh ( f ( x ) i , f ( y ) j , f ( z ) k ) = ( ζ 0 , ζ 1 , ζ 2 ) {\displaystyle (f(x)i,f(y)j,f(z)k)=(\zeta ^{0},\zeta ^{1},\zeta ^{2})} .

Dan metrik bisa ditulis dengan [ g 00 g 01 g 02 g 10 g 11 g 12 g 20 g 21 g 22 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}g_{00}&g_{01}&g_{02}\\g_{10}&g_{11}&g_{12}\\g_{20}&g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}}

Definisi umum

Simbol Christoffel pertama Γ c a b = 1 2 ( ∂ g c a ∂ x b + ∂ g c b ∂ x a − ∂ g a b ∂ x c ) = 1 2 ( g c a , b + g c b , a − g a b , c ) = 1 2 ( ∂ b g c a + ∂ a g c b − ∂ c g a b ) . {\displaystyle \Gamma _{cab}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{ca}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{cb}}{\partial x^{a}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c}\right)={\frac {1}{2}}\,\left(\partial _{b}g_{ca}+\partial _{a}g_{cb}-\partial _{c}g_{ab}\right)\,.} simbol Christoffel kedua Γ i k l = 1 2 g i m ( ∂ g m k ∂ x l + ∂ g m l ∂ x k − ∂ g k l ∂ x m ) = 1 2 g i m ( g m k , l + g m l , k − g k l , m ) , {\displaystyle {\Gamma ^{i}}_{kl}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}\left(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}\right),} di mana g i k {\displaystyle g^{ik}} adalah invers metrik atau 1 g i k {\displaystyle {\frac {1}{g}}_{ik}}

Aplikasi

Dalam relativitas umum

Simbol Christoffel sering digunakan dalam teori Relativitas umum Einstein, di mana ruang-waktu diwakili oleh manifold Lorentz 4-dimensi melengkung dengan koneksi Levi-Civita. Persamaan medan Einstein—yang menentukan geometri ruangwaktu dengan adanya materi—mengandung tensor Ricci, dan karenanya menghitung simbol Christoffel sangat penting. Setelah geometri ditentukan, jalur partikel dan berkas cahaya dihitung dengan memecahkan persamaan geodesik di mana simbol Christoffel muncul secara eksplisit.

Pranala luar

1. Christoffel symbols in terms of the metric tensor;

2. Metric tensor;

3. Metric tensor exercise: calculation for the surface of a sphere;

4. Christoffel symbol

Catatan kaki