Persegi Weda

Dalam matematika India, persegi Weda adalah variasi dari tabel perkalian 9 × 9 khas, di mana entri pada setiap sel merupakan akar digital dari hasil kali antara judul kolom dan baris — dengan kata lain, setiap sel berisi sisa ketika hasil kali antara judul baris dan kolom dibagi dengan 9 (dengan sisa 0 direpresentasikan oleh angka 9). Berbagai pola dan simetri geometris dapat diamati dalam persegi Weda, beberapa di antaranya dapat ditemukan dalam seni Islam tradisional.

∘ {\displaystyle \circ }	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Properti aljabar

Persegi Weda dapat dipandang sebagai tabel perkalian dari monoid ( ( Z / 9 Z ) × , { 1 , ∘ } ) {\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})} di mana Z / 9 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} } adalah himpunan bilangan bulat positif yang dipartisi oleh kelas sisa modulo sembilan. (operator ∘ {\displaystyle \circ } mengacu pada "perkalian" abstrak antara elemen-elemen monoid ini).

Jika a , b {\displaystyle a,b} adalah elemen dari ( ( Z / 9 Z ) × , { 1 , ∘ } ) {\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})} , maka a ∘ b {\displaystyle a\circ b} dapat didefinisikan sebagai ( a × b ) mod 9 {\displaystyle (a\times b){\bmod {9}}} , di mana elemen 9 merupakan representasi dari kelas sisa 0, bukan 0 sebagaimana biasanya.

Struktur ini tidak membentuk suatu grup karena tidak setiap elemen bukan nol memiliki elemen invers; misalnya 6 ∘ 3 = 9 {\displaystyle 6\circ 3=9} tetapi tidak ada a ∈ { 1 , ⋯ , 9 } {\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}} sedemikian hingga 9 ∘ a = 6. {\displaystyle 9\circ a=6.}

Properti subset

Subset { 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 } {\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}} membentuk sebuah grup siklik dengan 2 sebagai salah satu pilihan pembangkit — ini merupakan grup unit multiplikatif dalam gelanggang Z / 9 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} } . Setiap kolom dan baris mencakup keenam angka tersebut — sehingga subset ini membentuk sebuah persegi Latin.

∘ {\displaystyle \circ }	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Dari dua dimensi ke tiga dimensi

Sebuah persegi Weda didefinisikan sebagai susunan setiap akar digital dalam tabel perkalian tiga dimensi.^[2]

Persegi Weda dengan basis lebih tinggi

Persegi Weda dengan basis bilangan (atau basis radix) yang lebih tinggi dapat dihitung untuk menganalisis pola simetri yang muncul. Menggunakan perhitungan di atas, ( a × b ) mod ( basis − 1 ) {\displaystyle (a\times b){\bmod {({\textrm {basis}}-1)}}} . Gambar dalam bagian ini diberi kode warna sehingga akar digital 1 ditampilkan gelap dan akar digital (basis − 1) ditampilkan terang.

Lihat pula

• Persegi Latin
• Aritmetika modular
• Monoid

Referensi

Bacaan lanjutan

• Deskins, W.E. (1996), Abstract Algebra, New York: Dover, hlm. 162–167, ISBN 0-486-68888-7
• Pritchard, Chris (2003), The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching, Great Britain: Cambridge University Press, hlm. 119–122, ISBN 0-521-53162-4
• Ghannam, Talal (2012), The Mystery of Numbers: Revealed Through Their Digital Root, CreateSpace Publications, hlm. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1
• Teknomo, Kadi (2005), Digital Root: Vedic Square
• Chia-Yu, Lin (2016), Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space, Recreational Mathematics Magazine, hlm. 9–31, ISSN 2182-1976