Dalam geometri, cevian adalah segmen garis pada segitiga dengan salah satu titik ujung pada titik sudut segitiga dan titik ujung lainnya pada sisi segitiga yang berhadapan.[1] Garis berat, garis tinggi, dan garis bagi adalah kasus khusus cevian. Kata cevian berasal dari nama seorang insinyur berkebangsaan Italia Giovanni Ceva.[2]
Panjang
Teorema Stewart
Panjang dari cevian bisa dicari dengan teorema Stewart: pada gambar, panjang dari cevian d dapat ditentukan dengan persamaan
-
b
2
m
+
c
2
n
=
a
(
d
2
+
m
n
)
.
{\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}
Garis berat
Jika cevian adalah garis berat, panjangnya dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan
-
m
(
b
2
+
c
2
)
=
a
(
d
2
+
m
2
)
{\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}
atau
-
2
(
b
2
+
c
2
)
=
4
d
2
+
a
2
{\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}
karena
-
a
=
2
m
.
{\displaystyle \,a=2m.}
Oleh karena itu,
-
d
=
2
b
2
+
2
c
2
−
a
2
4
.
{\displaystyle d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.}
Garis bagi
Jika cevian adalah garis bagi, panjangnya bisa ditentukan dengan
-
(
b
+
c
)
2
=
a
2
(
d
2
m
n
+
1
)
,
{\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}
dan[3]
-
d
2
+
m
n
=
b
c
{\displaystyle d^{2}+mn=bc}
dan
-
d
=
2
b
c
s
(
s
−
a
)
b
+
c
{\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}
dengan semiperimeter s = (a+b+c)/2.
Sisi dengan panjang a dibagi dengan perbandingan b:c.
Garis tinggi
Jika cevian adalah garis tinggi sehingga tegak lurus dengan salah satu sisi, panjangnya bisa ditentukan dengan
-
d
2
=
b
2
−
n
2
=
c
2
−
m
2
{\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}
dan
-
d
=
2
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
a
,
{\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}
di mana setengah keliling s = (a+b+c) / 2.
Sifat-sifat Perbandingan
Terdapat berbagai sifat dari perbandingan panjang yang dibentuk oleh tiga cevian yang melalui satu titik interior yang sama[4]: 177–188 seperti pada gambar,
-
A
F
F
B
⋅
B
D
D
C
⋅
C
E
E
A
=
1
;
{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1;}
(teorema Ceva)
-
A
O
O
D
=
A
E
E
C
+
A
F
F
B
;
{\displaystyle {\frac {AO}{OD}}={\frac {AE}{EC}}+{\frac {AF}{FB}};}
-
O
D
A
D
+
O
E
B
E
+
O
F
C
F
=
1
;
{\displaystyle {\frac {OD}{AD}}+{\frac {OE}{BE}}+{\frac {OF}{CF}}=1;}
-
A
O
A
D
+
B
O
B
E
+
C
O
C
F
=
2.
{\displaystyle {\frac {AO}{AD}}+{\frac {BO}{BE}}+{\frac {CO}{CF}}=2.}
Dua sifat yang terakhir ekuivalen karena penjumlahan kedua persamaan memberikan 1 + 1 + 1 = 3.
Lihat juga
Catatan
- ↑ Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). Geometry Revisited. Washington, DC: Mathematical Association of America. hlm. 4. ISBN 0-883-85619-0.
- ↑ Lightner, James E. (1975). "A new look at the 'centers' of a triangle". The Mathematics Teacher. 68 (7): 612–615. JSTOR 27960289.
- ↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
- ↑ Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind, Challenging Problems in Geometry, Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.
Referensi
- Ross Honsberger (1995). Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137. Mathematical Association of America.
- Vladimir Karapetoff (1929). "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle." American Mathematical Monthly 36: 476–479.
- Indika Shameera Amarasinghe (2011). “A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle.” Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24 (02), pp. 29–37.