Ruas garis

Definisi geometris sebuah ruas garis.

Dalam geometri, ruas garis adalah sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik ujung yang berbeda, dan memuat semua titik pada garis di antara ujung-ujungnya. Contoh ruas garis misalnya sisi segitiga atau sisi persegi. Lebih umumnya, ketika titik-titik ujung adalah verteks suatu poligon, maka ruas garis adalah sisi (poligon tersebut); jika mereka merupakan verteks-verteks yang bertetanggaan, atau diagonal. Ketika titik-titik ujung terletak pada sebuah kurva, misalnya lingkaran, maka ruas garis itu disebut tali busur (kurva tersebut).

Dalam ruang vektor real atau kompleks

Jika V adalah sebuah ruang vektor pada R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ atau C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ , dan L adalah himpunan bagian dari V, maka L adalah ruas garis jika L dapat diparametrisasi sebagai

L = { u + t v ∣ t ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}} $L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}$

untuk suatu vektor u , v ∈ V {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!} $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$ , di mana kasus vektor u dan u + v disebut titik-titik ujung L.

Kadang-kadang seseorang harus membedakan antara ruas garis "terbuka" dan "tertutup". Maka orang tersebut mendefinisikan ruas garis tertutup seperti di atas, dan ruas garis terbuka sebagai suatu himpunan bagian L yang dapat diparametrisasi sebagai

L = { u + t v ∣ t ∈ ( 0 , 1 ) } {\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}} $L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}$

untuk suatu vektor u , v ∈ V {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!} $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V\,\!$ .

Secara ekivalen, ruas garis adalah convex hull dari dua titik. Dengan demikian, ruas garis tersebut dapat disajikan sebagai kombinasi konveks suatu ruas yang memiliki dua titik ujung.

Dalam geometri, ruas garis kadang-kadang didefinisikan bahwa sebuah titik B berada di antara titik A dan C, jika jarak AB dijumlahkan dengan jarak BC sama dengan jarak AC. Dengan demikian persamaan sebuah ruas garis dengan titik-titik ujung A = (a_x, a_y) dan C = (c_x, c_y) adalah

( x − c x ) 2 + ( y − c y ) 2 + ( x − a x ) 2 + ( y − a y ) 2 = ( c x − a x ) 2 + ( c y − a y ) 2 . {\displaystyle {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}.} ${\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}.$

Sifat

Ruas garis adalah sebuah himpunan tak-kosong terhubung.
Jika V adalah sebuah ruang vektor topologis, maka ruas garis tertutup adalah sebuah himpunan tertutup pada V. Tetapi, ruas garis terbuka adalah sebuah ruang terbuka pada V jika dan hanya jika V berdimensi-satu.
Lebih umumnya, konsep ruas garis dapat didefinisi dalam geometri terurut.

Dalam pembuktian

Dalam sebuah perlakuan aksiomatis geometri, gagasan keantaraan dianggap memenuhi sejumlah tertentu aksioma, atau jika tidak demikian maka didefinisikan dalam suku-suku isometri sebuah garis (digunakan sebagai sebuah sistem koordinat).

Ruas memainkan peran penting dalam teori-teori lainnya. Misalnya, himpunan dikatakan konveks jika ruas yang menghubungkan sembarang dua titik suatu himpunan adalah termuat dalam himpunan itu. Hal ini penting karena ruas mentransformasi beberapa analisis himpunan konveks kepada analisis ruas garis.

Sebagai elips degenerat

Ruas garis dapat dipandang sebagai irisan kerucut degenerat suatu elips di mana sumbu semi-minor menuju nol, fokus-fokusnya menuju titik-titik ujung, dan eksentrisitasnya menuju satu. Sebagai sebuah orbit degenerat, ruas garis adalah sebuah trajektori eliptik radial.