Bagian riil dan imajiner

Dalam matematika, jika diketahui bilangan kompleks z = x + iy (yang mana i adalah bilangan imajiner sedang x dan y adalah bilangan riil) maka x disebut bagian riil dan y disebut bagian imajiner dari z.^[1]

Bagian riil dari bilangan kompleks z ditulis Re(z) atau ℜ(z) dan bagian imajiner ditulis Im(z) atau ℑ(z), ℜ dan ℑ adalah huruf kapital R dan I dalam huruf gothic. Penulisan tanpa tanda kurung dapat pula digunakan, Re z atau ℜ z dan Im z atau ℑ z, selama tidak ada ambiguitas dalam pembacaan.

Untuk bilangan kompleks dalam bentuk polar, z = ( r , θ ) {\displaystyle z=(r,\theta )} $z=(r,\theta )$ , koordinat Kartesiannya adalah z = ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) {\displaystyle z=(r\cos \theta ,r\sin \theta )} $z=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ , atau z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) . {\displaystyle z=r(\cos \theta +i\sin \theta ).} $z=r(\cos \theta +i\sin \theta ).$ Hal ini sesuai dengan rumus Euler yang menyatakan z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} $z=re^{i\theta }$ , jadi bagian riil dari r e i θ {\displaystyle re^{i\theta }} $re^{i\theta }$ adalah r cos ⁡ θ {\displaystyle r\cos \theta } $r\cos \theta$ dan bagian imajinernya adalah r sin ⁡ θ {\displaystyle r\sin \theta } $r\sin \theta$ .

Untuk konjugasi bilangan kompleks z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} ${\bar {z}}$ , bagian riil dari z {\displaystyle z} $z$ sama dengan z + z ¯ 2 {\displaystyle z+{\bar {z}} \over 2} $z+{\bar {z}} \over 2$ , dan bagian imajinernya sama dengan z − z ¯ 2 i {\displaystyle {\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}} ${\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}$ .

Kegunaan

Perhitungan fungsi periodik dalam bilangan riil, seperti misalnya grafik arus bolak-balik atau medan elektromagnetik, sebenarnya merupakan penyederhanaan perhitungan bilangan kompleks dengan hanya memperhatikan bagian riil-nya saja.

Dalam bidang kelistrikan, jika tegangan gelombang sinus diberi beban linear (yaitu beban yang nantinya jika tegangannya sinus maka arus yang mengalir berupa gelombang sinus juga), arus listrik I {\displaystyle I} $I$ yang mengalir dalam kabel dapat ditulis sebagai bilangan kompleks I = x + j y {\displaystyle I=x+jy} $I=x+jy$ (dalam ilmu kelistrikan sering digunakan j sebagai bilangan imajiner karena lambang i biasa digunakan untuk arus listrik). Dalam notasi bilangan kompleks tersebut x adalah "arus sebenarnya" (arus yang timbul ketika ada tegangan) sedang y adalah "arus imajiner" (arus ketika tidak ada tegangan listrik).

Dalam trigonometri, perhitungan sering menjadi lebih mudah dengan memandang fungsi periodik dalam bidang kompleks.

Referensi

↑ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). College Algebra and Trigonometry (Edisi 6). Cengage Learning. hlm. 66. ISBN 0618825150., Chapter P, p. 66