Unit imajiner

Unit imajiner atau bilangan imajiner unit ( i {\displaystyle i} $i$ ) adalah solusi untuk persamaan kuadrat x {\displaystyle x} $x$ ² + 1 = 0 {\displaystyle +1=0} $+1=0$ . Meskipun tidak ada bilangan riil dengan sifat ini, i {\displaystyle i} $i$ dapat digunakan untuk memperluas bilangan riil menjadi bilangan kompleks, bilangan yang menggunakan operasi penambahan dan perkalian; contoh sederhananya adalah 2 + 3 i {\displaystyle 2+3i} $2+3i$ .

Bilangan imajiner adalah konsep matematika yang penting, sebab bilangan ini memperluas sistem bilangan riil R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ ke sistem bilangan kompleks C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ , dan pada sistem bilangan tersebut setidaknya terdapat satu buah akar fungsi untuk setiap polinomial P ( x ) {\displaystyle P(x)} $P(x)$ yang tak konstan. Istilah "imajiner" digunakan karena tidak ada bilangan riil yang memiliki kuadrat negatif.

Terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari −1, yaitu i {\displaystyle i} $i$ dan − i {\displaystyle -i} $-i$ , sama seperti terdapat dua buah akar kuadrat kompleks dari setiap bilangan riil selain nol, yang memiliki satu buah akar kuadrat berganda.

Bilangan kompleks j {\displaystyle j} $j$ yang juga terkadang digunakan untuk menggantikan i {\displaystyle i} $i$ , sebab i {\displaystyle i} $i$ dapat bermakna ambigu. Sebagai contoh, dalam ilmu teknik listrik dan teknik kendali, unit imajiner biasanya dilambangkan dengan j {\displaystyle j} $j$ alih-alih i {\displaystyle i} $i$ , karena i {\displaystyle i} $i$ biasanya digunakan untuk menyatakan arus listrik.^[1]

Definisi

Nilai siklus perpangkatan dari i :
. . . {\displaystyle ...} $...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)
i − 3 = i {\displaystyle i^{-3}=i} $i^{-3}=i$
i − 2 = − 1 {\displaystyle i^{-2}=-1} $i^{-2}=-1$
i − 1 = − i {\displaystyle i^{-1}=-i} $i^{-1}=-i$
i 0 = 1 {\displaystyle i^{0}=1} $i^{0}=1$
i 1 = i {\displaystyle i^{1}=i} $i^{1}=i$
i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} $i^{2}=-1$
i 3 = − i {\displaystyle i^{3}=-i} $i^{3}=-i$
i 4 = 1 {\displaystyle i^{4}=1} $i^{4}=1$
i 5 = i {\displaystyle i^{5}=i} $i^{5}=i$
i 6 = − 1 {\displaystyle i^{6}=-1} $i^{6}=-1$
. . . {\displaystyle ...} $...$ (daerah yang berwarna biru menandakan pola berulang)

Bilangan imajiner i {\displaystyle i} $i$ didefinisikan hanya dengan menggunakan sifat bahwa akar kuadratnya adalah − 1 {\displaystyle -1} $-1$ : i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.} $i^{2}=-1.$ Oleh karena itu, i {\displaystyle i} $i$ dan − i {\displaystyle -i} $-i$ sama-sama merupakan akar kuadrat dari − 1 {\displaystyle -1} $-1$ .

Operasi bilangan real dapat diperluas ke bilangan imajiner dan bilangan kompleks, dengan memperlakukan i {\displaystyle i} $i$ sebagai kuantitas yang tidak diketahui saat memanipulasi ekspresi (dan menggunakan definisi untuk menggantikan i 2 {\displaystyle i^{2}} $i^{2}$ dengan −1). Perpangkatan dari i {\displaystyle i} $i$ yang lebih tinggi dapat digantikan dengan − i {\displaystyle -i} $-i$ , 1 {\displaystyle 1} $1$ , i {\displaystyle i} $i$ , atau − 1 {\displaystyle -1} $-1$ : i 3 = i 2 i = ( − 1 ) i = − i i 4 = i 3 i = ( − i ) i = − ( i 2 ) = − ( − 1 ) = 1 i 5 = i 4 i = ( 1 ) i = i . {\displaystyle {\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}i^{3}&=i^{2}i=(-1)i=-i\\i^{4}&=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\\i^{5}&=i^{4}i=(1)i=i.\end{aligned}}$

Hal ini dapat diperlakukan cara yang serupa untuk sebarang bilangan real tak nol: i 0 = i 1 − 1 = i 1 i − 1 = i 1 1 i = i 1 i = i i = 1. {\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.} $i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1.$

Sebagai bilangan kompleks, i {\displaystyle i} $i$ dapat dinyatakan dalam sistem koordinat Cartesius berdimensi dua sebagai 0 + 1 i {\displaystyle 0+1i} $0+1i$ , yang terdiri dari nol buah komponen real dan satu buah komponen imajiner. Dalam bentuk polar, i {\displaystyle i} $i$ dapat dinyatakan sebagai 1 × e i π / 2 {\displaystyle 1\times e^{i\pi /2}} $1\times e^{i\pi /2}$ (atau cukup tulis e i π / 2 {\displaystyle e^{i\pi /2}} $e^{i\pi /2}$ ), dengan nilai mutlak dari 1 dan argumen dari π / 2 {\displaystyle \pi /2} $\pi /2$ radian (dan juga ditambahkan dengan sebarang kelipatan dari 2 π {\displaystyle 2\pi } $2\pi$ ). Dalam bilangan kompleks, atau disebut bidang Argand, yang merupakan pandangan bidang Cartesius yang khusus, i {\displaystyle i} $i$ adalah titik yang terletak dengan jarak 1 satuan dari titik asal di sepanjang sumbu imajiner.

Sifat

Akar kuadrat dan akar kubik

Dua buah akar kuadrat dari i {\displaystyle i} $i$ dalam bidang kompleks

Tiga buah akar kubik dari i {\displaystyle i} $i$ dalam bidang kompleks

Sama seperti semua bilangan kompleks tak nol, i {\displaystyle i} $i$ mempunyai dua buah akar kuadrat, yaitu ^[a]

± ( 2 2 + 2 2 i ) = ± 2 2 ( 1 + i ) . {\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).} $\pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Dengan menguadratkan kedua ekspresi tersebut, akan menghasilkan: ( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 = ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2 = 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) = 1 2 ( 1 + 2 i − 1 ) = i . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\end{aligned}}$

Dengan mengakarkuadratkan kedua ruas, akan didapatkan i = 2 2 ( 1 + i ) . {\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).} ${\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).$

Tiga buah akar kubik dari i {\displaystyle i} $i$ adalah:^[3] ( − i , 3 2 + i 2 , − 3 2 + i 2 ) . {\displaystyle \left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).} $\left(-i,{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}},-{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right).$

Sama seperti semua akar dari 1, semua akar dari i {\displaystyle i} $i$ adalah titik sudut poligon beraturan yang terletak di dalam lingkaran satuan di bidang kompleks.

Catatan

↑ Cara mencari akar kuadrat dari i {\displaystyle i} $i$ adalah dengan menyelesaikan persamaan ( x + i y ) 2 = i {\textstyle (x+iy)^{2}=i} ${\textstyle (x+iy)^{2}=i}$ dengan x dan y adalah parameter real yang akan dicari; persamaan tersebut sama saja dengan menulis x 2 + 2 i x y − y 2 = i . {\displaystyle x^{2}+2ixy-y^{2}=i.} $x^{2}+2ixy-y^{2}=i.$ Karena bagian riil dan imajiner selalu terpisah, maka suku-suku di persamaan dapat disusun menjadi x 2 − y 2 + 2 i x y = 0 + i . {\displaystyle x^{2}-y^{2}+2ixy=0+i.} $x^{2}-y^{2}+2ixy=0+i.$ Dengan menyamakan koefisien dan memisahkan bagian riil dan imajiner, maka didapatkan sistem dari dua persamaan: x 2 − y 2 = 0 2 x y = 1. {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}} ${\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}$ Dengan mensubstitusi y = 1 2 x − 1 {\displaystyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}} $y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}$ ke persamaan pertama, maka didapatkan x 2 − 1 4 x − 2 = 0 ⟹ 4 x 4 = 1. {\displaystyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0\implies 4x^{4}=1.} $x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0\implies 4x^{4}=1.$ Karena x {\displaystyle x} $x$ bilangan riil, maka persamaan ini mempunyai dua buah solusi riil untuk x {\displaystyle x} $x$ . yaitu x = 1 2 {\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} $x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ dan x = − 1 2 {\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} $x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$ . Dengan mensubstitusikan hasil tersebut ke persamaan 2 x y = 1 {\displaystyle 2xy=1} $2xy=1$ , maka didapatkan hasil yang sama untuk y {\displaystyle y} $y$ . Dengan demikian, akar kuadrat dari i {\displaystyle i} $i$ adalah 1 2 + 1 2 i {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i} ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ dan − 1 2 − 1 2 i {\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i} $-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i$ .^[2]