Uji Friedman

Non-parametric statistical testTemplat:SHORTDESC:Non-parametric statistical test

Untuk uji kriptanalitik, lihat sandi Vigenère § Uji Friedman. Untuk uji kehamilan Friedman, lihat uji kelinci.

Uji Friedman adalah uji statistika nonparametrik yang dikembangkan oleh Milton Friedman.^[1]^[2]^[3] Mirip dengan ANOVA pengukuran berulang parametrik, uji ini digunakan untuk mendeteksi perbedaan perlakuan di beberapa percobaan pengujian. Prosedurnya melibatkan pemeringkatan setiap baris (atau "blok") secara bersamaan, dan kemudian mempertimbangkan nilai peringkat berdasarkan kolom. Berlaku untuk desain blok lengkap, sehingga merupakan kasus khusus dari uji Durbin.

Contoh penggunaan klasik adalah:

n {\textstyle n} ${\textstyle n}$ juri wine masing-masing menilai k wine yang berbeda. Apakah ada di antara k {\textstyle k} ${\textstyle k}$ wine tersebut yang secara konsisten diberi peringkat lebih tinggi atau lebih rendah daripada yang lain?
n {\textstyle n} ${\textstyle n}$ tukang las masing-masing menggunakan k {\textstyle k} ${\textstyle k}$ obor las, dan hasil las dinilai kualitasnya. Apakah ada di antara k {\textstyle k} ${\textstyle k}$ obor tersebut yang secara konsisten menghasilkan las yang lebih baik atau lebih buruk?

Uji Friedman digunakan untuk analisis varians satu arah berulang berdasarkan peringkat. Dalam penggunaan peringkatnya, uji ini mirip dengan analisis varians satu arah Kruskal–Wallis berdasarkan peringkat.

Uji Friedman didukung secara luas oleh banyak paket perangkat lunak statistika.

Metode

Diberikan data { x i j } n × k {\displaystyle \{x_{ij}\}_{n\times k}} $\{x_{ij}\}_{n\times k}$ , yaitu matriks dengan n {\displaystyle n} $n$ baris ("blok"), k {\displaystyle k} $k$ kolom (perlakuan) dan satu pengamatan pada irisan setiap blok dan perlakuan, hitung peringkat di dalam setiap blok. Jika terdapat nilai yang sama, berikan nilai rata-rata peringkat yang seharusnya diberikan tanpa adanya nilai yang sama kepada setiap nilai yang sama tersebut. Gantikan data dengan matriks baru { r i j } n × k {\displaystyle \{r_{ij}\}_{n\times k}} $\{r_{ij}\}_{n\times k}$ di mana entri r i j {\displaystyle r_{ij}} $r_{ij}$ adalah peringkat x i j {\displaystyle x_{ij}} $x_{ij}$ dalam blok i {\displaystyle i} $i$ .
Temukan nilai r ¯ ⋅ j = 1 n ∑ i = 1 n r i j {\displaystyle {\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}} ${\bar {r}}_{\cdot j}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{r_{ij}}$
Statistik uji diberikan oleh Q = 12 n k ( k + 1 ) ∑ j = 1 k ( r ¯ ⋅ j − k + 1 2 ) 2 {\displaystyle Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}} $Q={\frac {12n}{k(k+1)}}\sum _{j=1}^{k}\left({\bar {r}}_{\cdot j}-{\frac {k+1}{2}}\right)^{2}$ . Perhatikan bahwa nilai Q {\textstyle Q} ${\textstyle Q}$ perlu disesuaikan untuk nilai yang sama dalam data.^[4]
Terakhir, ketika n {\textstyle n} ${\textstyle n}$ atau k {\textstyle k} ${\textstyle k}$ besar (yaitu n > 15 {\textstyle n>15} ${\textstyle n>15}$ atau k > 4 {\textstyle k>4} ${\textstyle k>4}$ ), distribusi probabilitas Q {\textstyle Q} ${\textstyle Q}$ dapat didekati dengan distribusi khi-kuadrat. Dalam hal ini, nilai p diberikan oleh P ( χ k − 1 2 ≥ Q ) {\displaystyle \mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)} $\mathbf {P} (\chi _{k-1}^{2}\geq Q)$ . Jika n {\textstyle n} ${\textstyle n}$ atau k {\textstyle k} ${\textstyle k}$ kecil, pendekatan terhadap khi-kuadrat menjadi buruk dan nilai p harus diperoleh dari tabel Q {\textstyle Q} ${\textstyle Q}$ yang khusus disiapkan untuk uji Friedman. Jika nilai p signifikan, uji perbandingan berganda post hoc yang sesuai akan dilakukan.

Pengujian terkait

Saat menggunakan desain semacam ini untuk respons biner, kita menggunakan uji Q Cochran.
Uji tanda (dengan alternatif dua sisi) setara dengan uji Friedman pada dua kelompok.
W Kendall adalah normalisasi statistik Friedman antara 0 {\textstyle 0} ${\textstyle 0}$ dan 1 {\textstyle 1} ${\textstyle 1}$ .
Uji peringkat bertanda Wilcoxon adalah uji nonparametrik data yang tidak independen dari hanya dua kelompok.
Uji Skillings–Mack adalah statistika tipe Friedman umum yang dapat digunakan di hampir semua rancangan blok dengan struktur data yang hilang yang sembarang.
Uji Wittkowski adalah statistika tipe Friedman umum yang mirip dengan uji Skillings-Mack. Ketika data tidak mengandung nilai yang hilang, pengujian ini memberikan hasil yang sama dengan uji Friedman. Namun jika data mengandung nilai yang hilang, maka uji ini lebih tepat dan sensitif daripada uji Skillings-Mack.^[5]

Analisis post hoc

Uji post hoc diusulkan oleh Schaich dan Hamerle (1984)^[6] serta Conover (1971, 1980)^[7] untuk menentukan kelompok mana yang berbeda secara signifikan satu sama lain, berdasarkan perbedaan peringkat rata-rata kelompok. Prosedur ini dirinci dalam Bortz, Lienert dan Boehnke (2000, hlm. 275).^[8] Eisinga, Heskes, Pelzer dan Te Grotenhuis (2017)^[9] menyediakan uji eksak untuk perbandingan berpasangan dari jumlah peringkat Friedman, yang diimplementasikan dalam R. Uji eksak Eisinga c.s. menawarkan peningkatan substansial dibandingkan uji perkiraan yang tersedia, terutama jika jumlah kelompok ( k {\displaystyle k} $k$ ) besar dan jumlah blok ( n {\displaystyle n} $n$ ) kecil.

Tidak semua paket statistik mendukung analisis post-hoc untuk uji Friedman, tetapi kode kontribusi pengguna tersedia yang menyediakan fasilitas ini (misalnya di SPSS,^[10] dan di R.^[11]). Paket R berjudul PMCMRplus berisi banyak metode non-parametrik untuk analisis post-hoc setelah Friedman,^[12] termasuk dukungan untuk uji Nemenyi.