Sebuah roda merupakan tipe aljabar, dalam arti aljabar universal, di mana pembagian selalu terdefinisi. Khususnya, pembagian oleh nol menjadi berarti. Bilangan real dapat dijabarkan menjadi sebuah roda, seperti halnya gelanggang komutatif.
Istilah roda terinspirasi oleh gambar topologis
⊙
{\displaystyle \odot }
Definisi
Sebuah roda merupakan sebuah strukur aljabar
(
W
,
0
,
1
,
+
,
⋅
,
/
)
{\displaystyle (W,0,1,+,\cdot ,/)}
-
W
{\displaystyle W}
merupakan sebuah himpunan,
-
0
{\displaystyle 0}
dan 1 {\displaystyle 1}
merupakan elemen dari himpunan tersebut,
-
+
{\displaystyle +}
dan ⋅ {\displaystyle \cdot }
merupakan operator biner,
-
/
{\displaystyle /}
merupakan sebuah operator uner,
dan memenuhi sebagai berikut:
- Penjumlahan dan perkalian adalah komutatif dan asosiatif, dengan
0
{\displaystyle 0}
-
/
/
x
=
x
{\displaystyle //x=x}
( / {\displaystyle /}
-
/
(
x
y
)
=
/
y
/
x
{\displaystyle /(xy)=/y/x}
( / {\displaystyle /}
-
x
z
+
y
z
=
(
x
+
y
)
z
+
0
z
{\displaystyle xz+yz=(x+y)z+0z}
-
(
x
+
y
z
)
/
y
=
x
/
y
+
z
+
0
y
{\displaystyle (x+yz)/y=x/y+z+0y}
-
0
⋅
0
=
0
{\displaystyle 0\cdot 0=0}
-
(
x
+
0
y
)
z
=
x
z
+
0
y
{\displaystyle (x+0y)z=xz+0y}
-
/
(
x
+
0
y
)
=
/
x
+
0
y
{\displaystyle /(x+0y)=/x+0y}
-
0
/
0
+
x
=
0
/
0
{\displaystyle 0/0+x=0/0}
Aljabar roda
Roda menggantikan pembagian biasa sebagai operator biner dengan perkalian, dengan sebuah operator uner diterapkan ke satu argumen
/
x
{\displaystyle /x}
-
0
x
≠
0
{\displaystyle 0x\neq 0}
dalam kasus umum
-
x
−
x
≠
0
{\displaystyle x-x\neq 0}
dalam kasus umum
-
x
/
x
≠
1
{\displaystyle x/x\neq 1}
dalam kasus umum, karena / x {\displaystyle /x}
.
Jika terdapat sebuah elemen
a
{\displaystyle a}
Identitas lainnya yang dapat diturunkan ialah
-
0
x
+
0
y
=
0
x
y
{\displaystyle 0x+0y=0xy}
-
x
−
x
=
0
x
2
{\displaystyle x-x=0x^{2}}
-
x
/
x
=
1
+
0
x
/
x
{\displaystyle x/x=1+0x/x}
Dan, untuk
x
{\displaystyle x}
-
x
−
x
=
0
{\displaystyle x-x=0}
Jika negasi dapat didefinisikan seperti di atas, maka subhimpunan
{
x
|
0
x
=
0
}
{\displaystyle \{x\,|\,0x=0\}}
Contoh
Roda pecahan
Misalkan
A
{\displaystyle A}
(
x
1
,
x
2
)
∼
S
(
y
1
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},x_{2})\sim _{S}(y_{1},y_{2})}
Mendefinisikan roda pecahan dari
A
{\displaystyle A}
![{\displaystyle [x_{1},x_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bdff343d848c2b70c68b5c04a2479b14a9fef0)
0
=
[
0
A
,
1
A
]
{\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}
![{\displaystyle 0=[0_{A},1_{A}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bfd430768484c2a2dce78a7467801ea242cd90)
1
=
[
1
A
,
1
A
]
{\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}
![{\displaystyle 1=[1_{A},1_{A}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd445b33424e6aaa7a9cc0b92ea55637909a25b)
/
[
x
1
,
x
2
]
=
[
x
2
,
x
1
]
{\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}
![{\displaystyle /[x_{1},x_{2}]=[x_{2},x_{1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07fc81955134e303f72e9605cd5459ffe22b80b0)
[
x
1
,
x
2
]
+
[
y
1
,
y
2
]
=
[
x
1
y
2
+
x
2
y
1
,
x
2
y
2
]
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}
![{\displaystyle [x_{1},x_{2}]+[y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1},x_{2}y_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b55335ff3f8e04ae92669f72151377ae8f1461)
[
x
1
,
x
2
]
⋅
[
y
1
,
y
2
]
=
[
x
1
y
1
,
x
2
y
2
]
{\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}
![{\displaystyle [x_{1},x_{2}]\cdot [y_{1},y_{2}]=[x_{1}y_{1},x_{2}y_{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f19e4ecae094a232e9106b1bfbcc5e94b0bcf1)
Garis proyektif dan bola Riemann
Kasus khusus di atas dimulai dengan sebuah medan menghasilkan sebuah garis proyektif diperpanjang menjadi sebuah roda dengan berdampingan sebuah elemen
⊥
{\displaystyle \bot }
Dimulai dengan bilangan real, "garis" proyektif padanan secara geometris sebuah lingkaran, dan kemudian titik tambahan
0
/
0
{\displaystyle 0/0}
Kutipan
Referensi
- Setzer, Anton (1997), Wheels (PDF) (a draft)
- Carlström, Jesper (2004), "Wheels – On Division by Zero", Mathematical Structures in Computer Science, 14 (1), Cambridge University Press: 143–184, doi:10.1017/S0960129503004110 (also available online here).
- A, BergstraJ; V, TuckerJ (1 April 2007). "The rational numbers as an abstract data type". Journal of the ACM (dalam bahasa Inggris). 54 (2): 7. doi:10.1145/1219092.1219095. S2CID 207162259.
{{cite journal}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link) - Bergstra, Jan A.; Ponse, Alban (2015). "Division by Zero in Common Meadows". Software, Services, and Systems: Essays Dedicated to Martin Wirsing on the Occasion of His Retirement from the Chair of Programming and Software Engineering. Lecture Notes in Computer Science (dalam bahasa Inggris). 8950. Springer International Publishing: 46–61. doi:10.1007/978-3-319-15545-6_6. ISBN 978-3-319-15544-9. S2CID 34509835.
{{cite journal}}: Pemeliharaan CS1: terbitan berkala memiliki ISBN (link)