Teorema Lagrange

Dalam teori grup, teorema Lagrange mengatakan bahwa untuk suatu grup hingga G {\displaystyle G} $G$ berorde n {\displaystyle n} $n$ , orde dari setiap subgrup H ≤ G {\displaystyle H\leq G} $H\leq G$ haruslah membagi n {\displaystyle n} $n$ . Teorema ini dinamai berdasarkan seorang matematikawan Prancis, Joseph-Louis de Lagrange.

Bukti

Untuk membuktikan teorema Lagrange, dapat digunakan koset dari suatu subgrup. Akan ditunjukkan bahwa setiap koset suatu subgrup berukuran sama, sehingga haruslah setiap koset dari suatu subgrup H {\displaystyle H} $H$ memiliki anggota sebanyak orde dari H {\displaystyle H} $H$ . Hal ini dapat dilakukan dengan membangun suatu bijeksi f : a H → b H {\displaystyle f:aH\to bH} $f:aH\to bH$ untuk sebarang a , b ∈ G {\displaystyle a,b\in G} $a,b\in G$ dengan f ( x ) = b a − 1 x {\displaystyle f(x)=ba^{-1}x} $f(x)=ba^{-1}x$ . Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan bijeksi dengan invers f − 1 ( x ) = a b − 1 x {\displaystyle f^{-1}(x)=ab^{-1}x} $f^{-1}(x)=ab^{-1}x$ . Akibatnya, kita dapatkan setiap koset dari subgrup H {\displaystyle H} $H$ berukuran sama. Berikutnya, karena koset-koset dari H {\displaystyle H} $H$ mempartisi grup G {\displaystyle G} $G$ atas akibat dari relasi ekuivalensi a ∼ b ⟺ a H = b H {\displaystyle a\sim b\iff aH=bH} $a\sim b\iff aH=bH$ , kita dapatkan banyaknya anggota dari G {\displaystyle G} $G$ sama dengan banyaknya koset dari H {\displaystyle H} $H$ dikali banyaknya anggota dari H {\displaystyle H} $H$ (karena semua koset berukuran sama). Akibatnya, kita dapatkan | G | = [ G : H ] | H | {\displaystyle |G|=[G:H]|H|} $|G|=[G:H]|H|$ sehingga orde tiap subgrup haruslah membagi orde grupnya. Dengan demikian kita selesai.

Konvers dari Teorema Lagrange

Secara umum, konvers dari teorema Lagrange tidak berlaku. Yakni, jika n {\displaystyle n} $n$ membagi orde dari G {\displaystyle G} $G$ , belum tentu terdapat suatu subgrup dari G {\displaystyle G} $G$ yang berorde n {\displaystyle n} $n$ . Sebagai contoh, grup berayun (yakni grup dari permutasi genap) A 4 {\displaystyle A_{4}} $A_{4}$ yang berorde 12 tidak memiliki subgrup berorde 6.