Teorema Apollonius

Dalam geometri, teorema Apollonius adalah suatu teorema yang mengaitkan panjang garis berat pada segitiga dengan panjang sisi-sisinya. Teorema ini menyatakan bahwa "jumlah kuadrat dari dua sisi segitiga sama dengan dua kali dari kuadrat setengah sisi ketiga, digabung dengan dua kali dari kuadrat garis berat yang membagi sisi ketiga". Secara lebih formal, untuk suatu segitiga A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ , jika A D {\displaystyle AD} $AD$ merupakan sebuah garis berat, maka | A B | 2 + | A C | 2 = 2 ( | A D | 2 + | B D | 2 ) {\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|AD|^{2}+|BD|^{2})} $|AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|AD|^{2}+|BD|^{2})$

Teorema ini adalah sebuah kasus khusus dari teorema Stewart. Untuk segitiga sama kaki dengan | A B | = | A C | {\displaystyle |AB|=|AC|} $|AB|=|AC|$ , garis berat A D {\displaystyle AD} $AD$ akan tegak lurus dengan B C {\displaystyle BC} $BC$ , sehingga teorema tereduksi menjadi teorema Pythagoras untuk segitiga A D B {\displaystyle ADB} $ADB$ (atau segitiga A D C {\displaystyle ADC} $ADC$ ). Dari fakta bahwa diagonal-diagonal jajar genjang membagi satu sama lain, teorema Apollonius setara dengan hukum jajar genjang.

Teorema ini dinamai dari nama seorang matematikawan Yunani, Apollonius dari Perga.

Bukti

Teorema Apollonius dapat dibuktikan sebagai sebuah kasus khusus dari teorema Stewart, atau dapat dibuktikan menggunakan vektor (lihat hukum jajaran genjang). Berikut ini adalah bukti dengan menggunakan hukum kosinus.^[1]

Misalkan segitiga memiliki sisi a , b , c {\displaystyle a,b,c} $a,b,c$ , dengan sebuah garis berat d {\displaystyle d} $d$ digambar ke sisi a {\displaystyle a} $a$ . Misalkan m {\displaystyle m} $m$ menjadi panjang dari segmen a {\displaystyle a} $a$ yang dibentuk oleh garis berat, jadi besar m {\displaystyle m} $m$ adalah setengah dari a {\displaystyle a} $a$ . Misalkan pula sudut dibentuk di antara a {\displaystyle a} $a$ dan d {\displaystyle d} $d$ adalah θ {\displaystyle \theta } $\theta$ dan θ ′ {\displaystyle \theta '} $\theta '$ , dengan θ {\displaystyle \theta } $\theta$ menghadap ke sisi b {\displaystyle b} $b$ dan θ ′ {\displaystyle \theta '} $\theta '$ menghadap ke sisi c {\displaystyle c} $c$ . Sudut θ ′ {\displaystyle \theta '} $\theta '$ adalah sudut penggenap dari θ {\displaystyle \theta } $\theta$ , (yakni, θ + θ ′ = 180 ∘ {\displaystyle \theta +\theta '=180^{\circ }} $\theta +\theta '=180^{\circ }$ ) sehingga cos ⁡ θ ′ = − cos ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta '=-\cos \theta } $\cos \theta '=-\cos \theta$ . Hukum kosinus untuk θ {\displaystyle \theta } $\theta$ dan θ ′ {\displaystyle \theta '} $\theta '$ menyatakan bahwa

b 2 = m 2 + d 2 − 2 d m cos ⁡ θ c 2 = m 2 + d 2 − 2 d m cos ⁡ θ ′ = m 2 + d 2 + 2 d m cos ⁡ θ {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}} ${\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}$