Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta atau teorema Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

Rumus dasar

Misalkan n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } dan a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0} . Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat n {\displaystyle n} dengan koefisien bilangan riil P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + a n − 2 x n − 2 + … + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\,\ldots \,+a_{1}x+a_{0}} dapat dinyatakan sebagai P ( x ) = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) … ( x − x n ) {\displaystyle P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)\ldots \left(x-x_{n}\right)} dengan x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}} merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}} sebagai berikut: − a n − 1 a n = x 1 + x 2 + … + x n − 1 + x n a n − 2 a n = x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n = + x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n + ⋯ + x n − 1 x n = ⋮ ( − 1 ) n a 0 a n = x 1 x 2 x 3 ⋅ … ⋅ x n {\displaystyle {\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n}\\&{\phantom {=}}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n}+\cdots +x_{n-1}x_{n}\\&{\phantom {=}}\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=x_{1}x_{2}x_{3}\cdot \ldots \cdot x_{n}\end{aligned}}} Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai − a n − 1 a n = ∑ i = 1 n x i a n − 2 a n = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n x i x j = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n ( ∏ j = 1 2 x i j ) − a n − 3 a n = ∑ 1 ≤ i < j < k ≤ n x i x j x k = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < i 3 ≤ n ( ∏ j = 1 3 x i j ) ⋮ ( − 1 ) k a n − k a n = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < … < i k ≤ n ( ∏ j = 1 k x i j ) ⋮ ( − 1 ) n a 0 a n = ∏ j = 1 n x j {\displaystyle {\begin{aligned}-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}&=\sum _{i\,=\,1}^{n}x_{i}\\{\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{2}x_{i_{j}}\right)\\-{\dfrac {a_{n-3}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}\\&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{3}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{k}{\dfrac {a_{n-k}}{a_{n}}}&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j\,=\,1}^{k}x_{i_{j}}\right)\\&\vdots \\\left(-1\right)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}&=\prod _{j\,=\,1}^{n}x_{j}\end{aligned}}} Perhatikan bahwa i 1 {\displaystyle i_{1}} sampai dengan i k {\displaystyle i_{k}} diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari k {\displaystyle k} akar digunakan tepat satu kali.

Ruas kanan dari rumus Vieta disebut sebagai polinomial simetri elementer dalam n {\displaystyle n} variabel.

Perumuman gelanggang

Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu ranah integral R {\displaystyle R} . Maka, hasil bagi a i a n {\displaystyle {\dfrac {a_{i}}{a_{n}}}} akan termuat pada lapangan pecahan dari R {\displaystyle R} (dan mungkin saja pada R {\displaystyle R} itu sendiri, jika a n {\displaystyle a_{n}} merupakan elemen unit pada R {\displaystyle R} ) dan akarnya x i {\displaystyle x_{i}} diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar. Biasanya, R {\displaystyle R} merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika a n {\displaystyle a_{n}} bukan merupakan pembagi nol dan P ( x ) {\displaystyle P(x)} dapat difaktorkan menjadi a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋅ … ⋅ ( x − x n ) {\displaystyle a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)} . Sebagai contoh, fungsi kuadrat P ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle P(x)=x^{2}-1} memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} dan x 2 = 3 {\displaystyle x_{2}=3} , sebab P ( x ) ≠ ( x − 1 ) ( x − 3 ) {\displaystyle P(x)\neq \left(x-1\right)\left(x-3\right)} . Akan tetapi, P ( x ) {\displaystyle P(x)} dapat difaktorkan menjadi ( x − 1 ) ( x − 7 ) {\displaystyle \left(x-1\right)\left(x-7\right)} atau ( x − 3 ) ( x − 5 ) {\displaystyle \left(x-3\right)\left(x-5\right)} , dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih [ x 1 x 2 ] = [ 1 7 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\7\end{bmatrix}}} atau [ x 1 x 2 ] = [ 3 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}} .

Contoh

Rumus Vieta saat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar-akar x 1 {\displaystyle x_{1}} dan x 2 {\displaystyle x_{2}} dari polinomial kuadrat P ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c} akan memenuhi persamaan x 1 + x 2 = − b a x 1 x 2 = c a {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-{\dfrac {b}{a}}\\x_{1}x_{2}&={\dfrac {c}{a}}\end{aligned}}}

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi P {\displaystyle P} ; lihat Persamaan kuadrat § Rumus-rumus Vieta.

Akar-akar x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} dan x 3 {\displaystyle x_{3}} dari polinomial kubik P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} akan memenuhi persamaan r 1 + r 2 + r 3 = − b a r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = c a r 1 r 2 r 3 = − d a {\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}+r_{2}+r_{3}&=-{\frac {b}{a}}\\r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}&={\frac {c}{a}}\\r_{1}r_{2}r_{3}&=-{\frac {d}{a}}\end{aligned}}}

Bukti

Bukti langsung

Menurut teorema dasar aljabar, jika x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}} merupakan akar-akar dari polinomial P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} maka P ( x ) {\displaystyle P(x)} dapat dinyatakan sebagai P ( x ) = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋅ … ⋅ ( x − x n ) {\displaystyle P(x)=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)} Akibatnya, diperoleh persamaan a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋅ … ⋅ ( x − x n ) {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)} Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari x {\displaystyle x} .

Secara formal, jika ekspresi ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋅ … ⋅ ( x − x n ) {\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\cdot \ldots \cdot \left(x-x_{n}\right)} dijabarkan, maka terdapat tepat n {\displaystyle n} pilihan biner pada setiap suku (ikutkan x {\displaystyle x} atau − x i {\displaystyle -x_{i}} ). Jika k {\displaystyle k} pilihan digunakan untuk memilih x {\displaystyle x} sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa n − k {\displaystyle n-k} faktor lainnya haruslah − x i {\displaystyle -x_{i}} . Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum ( − 1 ) n − k ( x 1 ) b 1 ( x 2 ) b 2 ⋅ … ⋅ ( r n ) b n x k {\displaystyle \left(-1\right)^{n-k}\left(x_{1}\right)^{b_{1}}\left(x_{2}\right)^{b_{2}}\cdot \ldots \cdot \left(r_{n}\right)^{b_{n}}x^{k}} , dengan b i {\displaystyle b_{i}} bernilai 0 atau 1, tergantung apakah r i {\displaystyle r_{i}} menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat x {\displaystyle x} nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam x i {\displaystyle x_{i}} .

Induksi matematika

Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.

Hipotesis

Misalkan

1. P ( x ) {\displaystyle P(x)} adalah polinomial berderajat n {\displaystyle n}
2. P ( x ) {\displaystyle P(x)} memiliki akar-akar kompleks { x 1 , x 2 , … , x n } {\displaystyle \left\{x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\right\}}
3. P ( x ) {\displaystyle P(x)} memiliki koefisien kompleks { a 0 , a 1 , a 2 , … , a n } {\displaystyle \left\{a_{0},\,a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}} , dengan a n ≠ 0 {\displaystyle a_{n}\neq 0}

maka P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 = a n ( x n − ( x 1 + x 2 + … + x n ) x n − 1 + … + ( − 1 ) n x 1 x 2 ⋅ … ⋅ x n ) {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)}

Kasus dasar (n = 2)

Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = a 2 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)} Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = a 2 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = a 2 ( x − x 1 x − x 2 x + x 1 x 2 ) = a 2 ( x − ( x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}&=a_{2}\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\right)\\&=a_{2}\left(x-\left(x_{1}+x_{2}\right)x+x_{1}x_{2}\right)\end{aligned}}} sehingga kasus dasar terbukti.

Langkah induksi

Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai n = k {\displaystyle n=k} , dengan k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} . Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} . P ( x ) = a n + 1 x n + 1 + a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}} Berdasarkan teorema faktor, maka ( x − x n + 1 ) {\displaystyle \left(x-x_{n+1}\right)} dapat difaktorkan dari P ( x ) {\displaystyle P(x)} , dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan P ( x ) = a n + 1 x n + 1 + a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 = a n + 1 ( x n + 1 + a n a n + 1 x n + a n − 1 a n + 1 x n − 1 + … + a 1 a n + 1 x + a 0 a n + 1 ) = a n + 1 ( x − x n + 1 ) ⋅ x n + 1 + a n a n + 1 x n + a n − 1 a n + 1 x n − 1 + … + a 1 a n + 1 x + a 0 a n + 1 x − x n + 1 = a n + 1 ( x − x n + 1 ) ( x n + c n − 1 x n − 1 + … + c 1 x + c 0 ) = a n + 1 ( x − x n + 1 ) ( x n − ( x 1 + x 2 + … + x n ) x n − 1 + … + ( − 1 ) n x 1 x 2 ⋅ … ⋅ x n ) = a n + 1 ( x ( x n − ( x 1 + x 2 + … + x n ) x n − 1 + … + ( − 1 ) n x 1 x 2 ⋅ … ⋅ x n ) = a n + 1 − x n + 1 ( x n − ( x 1 + x 2 + … + x n ) x n − 1 + … + ( − 1 ) n x 1 x 2 ⋅ … ⋅ x n ) ) = a n + 1 ( x n + 1 − ( x 1 + x 2 + … + x n + x n + 1 ) x n + … + ( − 1 ) n + 1 x 1 x 2 ⋅ … ⋅ x n x n + 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=a_{n+1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}+{\dfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\dfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\dfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\cdot {\dfrac {x^{n+1}+{\tfrac {a_{n}}{a_{n+1}}}x^{n}+{\tfrac {a_{n-1}}{a_{n+1}}}x^{n-1}+\ldots +{\tfrac {a_{1}}{a_{n+1}}}x+{\tfrac {a_{0}}{a_{n+1}}}}{x-x_{n+1}}}\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\,\ldots \,+c_{1}x+c_{0}\right)\\&=a_{n+1}\left(x-x_{n+1}\right)\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\\&=a_{n+1}\left(x\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right.\\&{\phantom {=a_{n+1}}}\left.-x_{n+1}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)\right)\\&=a_{n+1}\left(x^{n+1}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}+x_{n+1}\right)x^{n}+\ldots +\left(-1\right)^{n+1}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}x_{n+1}\right)\end{aligned}}}

Kesimpulan

Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} , maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang n ∈ N ∖ { 1 } {\displaystyle n\in \mathbb {N} \setminus \left\{1\right\}} . a n x n + a n − 1 x n − 1 + … + a 1 x + a 0 = a n ( x n − ( x 1 + x 2 + … + x n ) x n − 1 + … + ( − 1 ) n x 1 x 2 ⋅ … ⋅ x n ) {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}\left(x^{n}-\left(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\right)x^{n-1}+\,\ldots \,+\left(-1\right)^{n}x_{1}x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)} Dengan membagi kedua ruas dengan x n {\displaystyle x_{n}} , maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

Sejarah

Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser,^[2] prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.

Lihat juga

• Portal Matematika

• Bagian primitif dan konten
• Aturan tanda Descartes
• Identitas Newton
• Teorema Gauss-Lucas
• Sifat geometris dari akar polinomial
• Teorema akar rasional
• Polinomial simetris dan polinomial simetri elementer

Referensi

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Teorema Viète", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations" [Penjelasan singkat tentang sejarah fungsi simetris dari akar persamaan], American Mathematical Monthly, 37 (7), Mathematical Association of America: 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273
• Vinberg, E. B. (2003), A course in algebra [Kursus aljabar] (dalam bahasa Inggris), American Mathematical Society, Providence, R.I, ISBN 0-8218-3413-4
• Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 [Ringkasan IMO: kumpulan masalah yang disarankan untuk Olimpiade Matematika Internasional, 1959–2004] (dalam bahasa Inggris), Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6

Pranala luar

• Vieta's Formula [Rumus Vieta] (dalam bahasa Inggris)