Objek grup

Dalam teori kategori, cabang matematika, objek grup adalah generalisasi tertentu dari grup di atas struktur yang lebih rumit dari himpunan. Contoh tipikal dari objek grup adalah grup topologi, grup yang himpunan dasarnya adalah ruang topologis sehingga operasi grup kontinu.

Definisi

Secara formal, dengan kategori C dengan produk hingga (misalkan, C memiliki objek terminal 1 dan dua objek C memiliki hasil kali). Objek grup dalam C adalah objek G dari C dengan morfisme

m : G × G → G (sebagai "perkalian grup")
e : 1 → G (sebagai "penyertaan elemen identitas")
inv : G → G (sebagai "operasi inversi")

sedemikian rupa sehingga sifat berikut (dimodelkan pada aksioma grup, pada definisi grup digunakan dalam aljabar universal)

m adalah asosiatif, yaitu m ( m × id _G ) = m (id _G × m ) sebagai morfisme G × G × G → G, dan misalnya m × id _G : G × G × G → G × G ; di sini kami mengidentifikasi G × ( G × G ) secara kanonik dengan ( G × G ) × G.
e adalah satuan dua sisi m, yaitu m (id _G × e ) = p ₁, di mana p ₁ : G × 1 → G adalah proyeksi kanonik, dan m ( e × id _G ) = p ₂, di mana p ₂ : 1 × G → G adalah proyeksi kanonik
inv adalah invers dua sisi untuk m, yaitu jika d : G → G × G adalah peta diagonal, dan e _G : G → G adalah komposisi morfisme unik G → 1 (disebut juga kounit) dengan e, lalu m (id _G × inv ) d = e _G dan m ( inv × id _G ) d = e _G.

Perhatikan bahwa ini dinyatakan dalam peta, produk dan invers harus peta dalam kategori, dan tanpa referensi yang mendasari "elemen" objek grup, kategori secara umum tidak memiliki elemen objek mereka.

Cara lain untuk menyatakan hal di atas adalah dengan G adalah grup objek dalam kategori C jika untuk objek X dalam C, terdapat struktur grup pada morfisme Hom ( X, G ) dari X ke G sedemikian rupa sehingga asosiasi X ke Hom (X, G) adalah (kontravarian) funktor dari C ke kategori grup.

Contoh

Setiap himpunan G dari struktur grup ( G, m, u, ⁻¹ ) didefinisikan sebagai objek grup dalam kategori himpunan. Peta m adalah operasi grup, peta e (di mana domainnya singleton) elemen identitas u dari G, dan inv peta kebalikannya ke elemen grup. e _G : G → G adalah peta order elemen G ke elemen identitas.
Grup topologi adalah grup objek dalam kategori ruang topologi dengan fungsi kontinu .
Grup Lie adalah grup objek dalam kategori lipatan halus dengan peta smuth .
Supergrup Lie adalah grup objek dalam kategori supermanifold.
Grup aljabar adalah grup objek dalam kategori varietas aljabar. Dalam geometri aljabar modern, mempertimbangkan skema grup, mengelompokkan objek dalam kategori skema.
Grup lokal adalah objek grup dalam kategori lokal .
Objek grup dalam kategori grup (atau monoid ) adalah grup abelian . Alasannya adalah, jika inv diasumsikan homomorfisme, maka G harus abelian. Lebih tepatnya: jika A adalah kelompok abelian dan kita dilambangkan dengan m perkalian kelompok A, melalui e dimasukkannya unsur identitas, dan dengan inv operasi inversi pada A, maka (A, m, e, inv) adalah objek kelompok dalam kategori grup (atau monoid). Sebaliknya, jika ( A, m, e, inv ) adalah objek grup dalam salah satu kategori tersebut, maka m harus bertepatan dengan operasi yang diberikan pada A, e adalah penyertaan elemen identitas tertentu pada A, inv adalah operasi inversi dan A dengan operasi yang diberikan adalah grup abelian. Lihat pula argumen Eckmann–Hilton .
Grup-2 adalah objek grup dalam kategori kecil .
Mengingat kategori C dengan terbatas koproduk, benda kogrup adalah G objek C dengan "comultiplication" m: G → G ⊕ {\displaystyle \oplus } $\oplus$ G, "coidentity" e : G → 0, dan "coinversion" inv : G → G yang memenuhi versi ganda aksioma untuk objek grup. Di mana 0 adalah objek awal C. Objek kogrup terjadi di dalam topologi aljabar.

Generalisasi teori grup

Banyak teori grup dapat dirumuskan dalam konteks objek grup yang lebih umum. Pengertian grup homomorfisme , subgrup, subgrup normal dan teorema isomorfisme adalah contoh tipikal.^{[butuh rujukan]} Namun, hasil teori grup yang berbicara tentang elemen individu, atau urutan elemen atau subkelompok tertentu, biasanya tidak dapat digeneralisasikan ke objek grup secara langsung.^{[butuh rujukan]}