Keserupaan matriks

Dalam aljabar linear, dua matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } and B {\displaystyle \mathbf {B} } berukuran n × n {\displaystyle n\times n} disebut serupa jika ada matriks terbalikkan P {\displaystyle \mathbf {P} } yang memenuhi hubungan B = P − 1 A P . {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} .} Matriks-matriks yang serupa merepresentasikan pemetaan linear yang sama dibawah dua basis yang (mungkin) berbeda, dengan P {\displaystyle \mathbf {P} } menjadi matriks perubahan basis.^[1][2] Transformasi A ↦ P − 1 A P {\displaystyle \mathbf {A} \mapsto \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {A} \mathbf {P} } disebut transformasi keserupaan atau konjugasi dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } . Dalam grup linear umum, konsep keserupaan sama dengan konjugasi, dan matriks-matriks serupa juga disebut dengan konjugat. Akan tetapi, untuk suatu subgrup H dari grup linear umum, konsep konjugasi dapat lebih ketat daripada keserupaan, karena mengharuskan P {\displaystyle \mathbf {P} } berada di H.

Gambaran umum

Saat mendefinisikan suatu transformasi linear, terkadang ada keadaan ketika perubahan basis dari transformasi tersebut, dapat menghasilkan bentuk yang lebih sederhana. Sebagai contoh, matriks yang merepresentasikan rotasi di R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} dengan sumbu rotasi yang tidak sejajar dengan sumbu koordinat, mungkin rumit untuk dihitung. Akan tetapi, jika sumbu rotasi sejajar dengan sumbu-z positif, matriks tersebut dapat dituliskan sebagai S = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ] , {\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},} dengan θ {\displaystyle \theta } menyatakan sudut dari rotasi. Di sistem koordinat yang baru ini, transformasi dapat dituliskan sebagai y ′ = S x ′ , {\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {S} \mathbf {x} ',} dengan x ′ {\displaystyle \mathbf {x} '} dan y ′ {\displaystyle \mathbf {y} '} masing-masing menyatakan vektor awal dan vektor hasil transformasi. Sedangkan di sistem koordinat lama, transformasi ini ditulis sebagai y = T x , {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {T} \mathbf {x} ,} dengan vektor x {\displaystyle \mathbf {x} } dan y {\displaystyle \mathbf {y} } , dan matriks tranformasi T {\displaystyle \mathbf {T} } yang tidak diketahui, berada di basis lama. Untuk menyatakan T {\displaystyle \mathbf {T} } menggunakan matriks transformasi yang lebih sederhana, kita menggunakan matriks perubahan basis P {\displaystyle \mathbf {P} } yang memetakan x {\displaystyle \mathbf {x} } dan y {\displaystyle \mathbf {y} } menjadi x ′ = P x {\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {P} \mathbf {x} } dan y ′ = P y {\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {P} \mathbf {y} } , sehingga: y ′ = S x ′ ⇒ P y = S P x ⇒ y = ( P − 1 S P ) x = T x . {\displaystyle {\begin{aligned}&&\mathbf {y} '&=\mathbf {S} \mathbf {x} '\\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {P} \mathbf {y} &=\mathbf {S} \mathbf {P} \mathbf {x} \\[1.6ex]&\Rightarrow &\mathbf {y} &=\left(\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {P} \right)\mathbf {x} =\mathbf {T} \mathbf {x} .\end{aligned}}} Alhasil, matriks transformasi di basis awal, T {\displaystyle \mathbf {T} } , dapat dihitung dengan mudah sebagai T = P − 1 S P {\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {P} } . Dengan kata lain, transformasi keserupaan bekerja dalam tiga langkah: ubah masalah ke basis yang baru ( P {\displaystyle \mathbf {P} } ), lakukan transformasi yang lebih sederhana ( S {\displaystyle \mathbf {S} } ), lalu kembali ke basis yang lama ( P − 1 {\displaystyle \mathbf {P} ^{-1}} ).

Sifat-sifat

Keserupaan adalah salah satu relasi ekuivalensi pada ruang matriks persegi. Karena matriks-matriks yang serupa jika dan hanya jika mereka menyatakan operator linear yang sama menurut basis-basis yang (mungkin) berbeda, matriks-matriks yang serupa memiliki semua sifat dari operator yang mereka nyatakan:

• Rank
• Polinomial karakteristik, dan nilai-nilai yang dapat diperoleh dari polinomial tersebut, seperti:
  • Determinan
  • Teras
  • Nilai-nilai eigen, dan kegandaan aljabar mereka.
• Kegandaan geometrik dari nilai-nilai eigen (namun tidak ruang-ruang eigen, karena itu berubah akibat perubahan basis oleh P {\displaystyle \mathbf {P} } )
• Polinomial minimal
• Bentuk normal Frobenius
• Bentuk normal Jordan, hingga permutasi dari blok-blok Jordan
• Indeks nilpoten

Hubungan-hubungan ini mengakibatkan, untuk sebarang matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } , pencarian matriks "bentuk normal" B {\displaystyle \mathbf {B} } yang serupa dengan A {\displaystyle \mathbf {A} } dapat lebih disukai karena penelitian terkait matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } dapat dimudahkan dengan menelitik matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } yang lebih sederhana.

Keserupaan matriks-matriks tidak bergantung pada lapangan yang digunakan: jika K {\displaystyle K} adalah sublapangan dari lapangan L {\displaystyle L} , dan A {\displaystyle \mathbf {A} } dan B {\displaystyle \mathbf {B} } adalah matriks atas K {\displaystyle K} , maka A {\displaystyle \mathbf {A} } dan B {\displaystyle \mathbf {B} } saling serupa atas K {\displaystyle K} jika dan hanya jika mereka juga saling serupa atas L {\displaystyle L} . Hal ini diakibatkan bentuk kanonik rasional atas K {\displaystyle K} juga merupakan bentuk kanonik rasional atas L {\displaystyle L} . Akibatnya, bentuk-bentuk Jordan yang ada di lapangan yang lebih besar, untuk menentukan keserupaan dari matriks-matriks.

Lihat pula

• Bentuk kanonik
• Kekongruenan matriks
• Kesetaraan matriks

Referensi

Kutipan

Pustaka