Hukum gerak Euler

Dalam mekanika klasik, hukum gerak Euler (Bahasa Inggris: Euler's Laws of Motion) adalah persamaan gerak yang memperluas hukum gerak Newton untuk partikel titik ke gerak benda tegar.^[1] Hukum ini dirumuskan oleh Leonhard Euler sekitar 50 tahun setelah Isaac Newton merumuskan hukum-hukumnya.

Ikhtisar

Hukum pertama Euler

Hukum pertama Euler menyatakan bahwa laju perubahan momentum linier p dari sebuah benda tegar sama dengan resultan semua gaya eksternal F_ext yang bekerja pada benda tersebut.^[2]

F ext = d p d t {\displaystyle F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}} $F_{\text{ext}}={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

Gaya internal antar partikel yang membentuk sebuah benda tidak berkontribusi dalam mengubah momentum benda karena ada gaya yang sama dan berlawanan sehingga tidak ada efek bersih.^[3]

Momentum linier benda tegar adalah hasil kali antara massa benda dan kecepatan pusat massanya, v_cm.^[1]^[4]^[5]

Hukum kedua Euler

Hukum kedua Euler menyatakan bahwa laju perubahan momentum sudut L terhadap suatu titik yang ditetapkan dalam kerangka acuan inersia (sering kali merupakan pusat massa benda), sama dengan jumlah momen gaya eksternal (torsi) yang bekerja pada benda M terhadap titik tersebut.^[1]^[4]^[5]

M = d L d t {\displaystyle \mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}} $\mathbf {M} ={d\mathbf {L} \over dt}$

Perhatikan bahwa rumus di atas hanya berlaku jika M dan L dihitung terhadap kerangka inersia tetap atau kerangka yang sejajar dengan kerangka inersia tetapi tetap pada pusat massa. Untuk benda tegar yang bertranslasi dan berotasi hanya dalam dua dimensi, hal ini dapat dinyatakan sebagai berikut.^[6]

M = r c m × a c m m + I α {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }}} $\mathbf {M} =\mathbf {r} _{\rm {cm}}\times \mathbf {a} _{\rm {cm}}m+I{\boldsymbol {\alpha }}$

di mana:

r_cm adalah vektor posisi pusat massa benda terhadap titik di mana momen dijumlahkan,
a_cm adalah percepatan linier pusat massa benda,
m adalah massa benda,
α adalah percepatan sudut benda, dan
I adalah momen inersia benda terhadap pusat massanya.

Penjelasan dan turunan

Distribusi gaya internal dalam benda yang dapat berubah bentuk tidak selalu sama di seluruh bagian, yaitu tekanan bervariasi dari satu titik ke titik berikutnya. Variasi gaya internal di seluruh benda ini diatur oleh hukum gerak kedua Newton tentang kekekalan momentum linier dan momentum sudut, di mana penggunaan yang paling sederhana diterapkan pada partikel bermassa, tetapi diperluas dalam mekanika kontinum menjadi benda bermassa yang terdistribusi secara kontinu. Untuk benda kontinu, hukum-hukum ini disebut hukum gerak Euler.^[7]

Gaya total benda yang diterapkan pada benda kontinu dengan massa m, massa jenis ρ, dan volume V, adalah integral volume yang diintegrasikan pada volume benda:

F B = ∫ V b d m = ∫ V b ρ d V {\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV} $\mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV$

di mana b adalah gaya yang bekerja pada benda per satuan massa (dimensi percepatan, yang secara keliru disebut "gaya benda"), dan dm = ρ dV adalah elemen massa benda yang sangat kecil.

Gaya benda dan gaya kontak yang bekerja pada benda menyebabkan momen (torsi) yang sesuai dari gaya-gaya tersebut relatif terhadap titik tertentu. Dengan demikian, torsi total yang diterapkan M tentang titik asal berasal dari:

M = M B + M C {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}} $\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}$

di mana M_B dan M_C masing-masing menunjukkan momen yang disebabkan oleh benda dan gaya kontak.

Dengan demikian, jumlah semua gaya dan torsi yang diterapkan (sehubungan dengan asal sistem koordinat) yang bekerja pada benda dapat diberikan sebagai jumlah volume dan integral permukaan:

F = ∫ V a d m = ∫ V a ρ d V = ∫ S t d S + ∫ V b ρ d V {\displaystyle \mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV} $\mathbf {F} =\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{V}\mathbf {a} \rho \,dV=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV$

M = M B + M C = ∫ S r × t d S + ∫ V r × b ρ d V {\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV} $\mathbf {M} =\mathbf {M} _{B}+\mathbf {M} _{C}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV$

di mana t = t(n) disebut traksi permukaan, diintegrasikan di atas permukaan benda, di mana n menunjukkan vektor satuan normal dan diarahkan ke luar permukaan S.

Misalkan sistem koordinat ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})} $(x_{1},x_{2},x_{3})$ adalah kerangka acuan inersia, r adalah vektor posisi partikel titik dalam benda kontinu sehubungan dengan asal sistem koordinat, dan v = d r d x {\displaystyle {dr \over dx}} ${dr \over dx}$ adalah vektor kecepatan dari titik tersebut.

Aksioma atau hukum pertama Euler (hukum keseimbangan momentum linier atau keseimbangan gaya) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum linier p dari bagian sembarang benda kontinu sama dengan total gaya yang diterapkan F yang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.

d p d t = F d d t ∫ V ρ v d V = ∫ S t d S + ∫ V b ρ d V {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}} ${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}&=\mathbf {F} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}$

Aksioma atau hukum kedua Euler (hukum keseimbangan momentum sudut atau keseimbangan torsi) menyatakan bahwa dalam kerangka inersia, laju waktu perubahan momentum sudut L dari bagian sembarang benda kontinu sama dengan torsi total yang diterapkan M yang bekerja pada bagian itu, dan dinyatakan sebagai berikut.

d L d t = M d d t ∫ V r × ρ v d V = ∫ S r × t d S + ∫ V r × b ρ d V {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}} ${\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&=\mathbf {M} \\{\frac {d}{dt}}\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {v} \,dV&=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {t} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {b} \rho \,dV\end{aligned}}$

di mana v adalah kecepatan, V adalah volume, dan turunan dari p dan L adalah turunan material.

Lihat juga

Daftar hal-hal yang dinamai dari Leonhard Euler

Referensi

1 2 3 McGill, David J.; King, Wilton W.; McGill, David J.; McGill, David J. (1995). Engineering mechanics: statics and an introduction to dynamics. PWS series in engineering (Edisi 3. ed). Boston: PWS Publ: ITP. ISBN 978-0-534-93399-9.{{cite book}}: |edition= memiliki teks tambahan
↑ "Equations of motion for a rigid body". emweb.unl.edu. Diakses tanggal 2024-02-24.
↑ Gray, Gary L.; Costanzo, Francesco; Plesha, Michael E. (2010). Engineering mechanics. 2: Dynamics / Gary L. Gray; Francesco Costanzo; Michael E. Plesha (Edisi SI ed). Boston, Mass.: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-282871-9.{{cite book}}: |edition= memiliki teks tambahan
1 2 Euler (dalam bahasa Inggris).
1 2 Rao, Anil V.; Rao, Anil Vithala (2006). Dynamics of particles and rigid bodies: a systematic approach (Edisi 1. publ). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85811-3.
↑ Ruina, Andy: Rudra Pratap (2002). Introduction to Statics and Dynamics (PDF). Oxford University Press.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Lubliner, Jacob (2008). Plasticity theory. Dover books on engineering (Edisi Dover ed., rev. and corr. republ). Mineola: Dover Publ. ISBN 978-0-486-46290-5.