Hampiran linear

Garis singgung yang melalui titik ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,\,f(a))} $(a,\,f(a))$

Dalam matematika, hampiran linear adalah hampiran/taksiran suatu fungsi dengan menggunakan sebuah fungsi linear (atau lebih tepatnya, sebuah fungsi afin). Hampiran ini sering digunakan dalam metode beda hingga untuk menghasilkan solusi orde satu untuk untuk menyelesaikan atau menaksir hasil dari suatu [sistem] persamaan.

Definisi

Misalkan f {\displaystyle f} $f$ adalah fungsi bernilai real satu variabel, yang terdiferensialkan secara kontinu dua kali. Teorema Taylor untuk kasus n = 1 {\displaystyle n=1} $n=1$ menyatakan bahwa f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + R 2 {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}} $f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}$

dengan R 2 {\displaystyle R_{2}} $R_{2}$ adalah suku sisa (remainder). Hampiran linear dari fungsi tersebut diperoleh dengan membuang suku sisa: f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).} $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$ Ekspresi ini adalah hampiran yang baik jika x {\displaystyle x} $x$ terletak cukup dengan a {\displaystyle a} $a$ ; karena sebuah bagian (selang) pada kurva, ketika dilihat dari sangat dekat, bentuknya akan menyerupai sebuah garis lurus. Dengan kata lain, ekspresi pada ruas kanan sebenarnya adalah persamaan untuk garis singgung grafik dari fungsi f {\displaystyle f} $f$ di titik ( a , f ( a ) ) {\displaystyle (a,f(a))} $(a,f(a))$ . Karena alasan ini, hampiran ini juga disebut dengan hampiran garis singgung.

Hampiran linear untuk fungsi multivariabel bernilai vektor diperoleh dengan cara yang sama, yakni dengan mengganti turunan pada suatu titik dengan matriks Jacobi. Sebagai contoh, fungsi bernilai real yang terdiferensialkan f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} $f(x,y)$ dapat ditaksir nilainya dengan rumus f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ∂ x ( a , b ) ( x − a ) + ∂ f ∂ y ( a , b ) ( y − b ) . {\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).} $f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).$ Untuk titik ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} $(x,y)$ yang terletak dekat dengan titik ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} $(a,b)$ . Ruas kanan dari persamaan tersebut merupakan persamaan bidang singgung dari grafik fungsi z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} $z=f(x,y)$ di titik ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).} $(a,b).$

Bacaan lebih lanjut

Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Calculus III. Berlin: Springer-Verlag. hlm. 775. ISBN 0-387-90985-0.
Strang, Gilbert (1991). Calculus. Wellesley College. hlm. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. hlm. 118. ISBN 0-7641-2382-3.