Grup Dedekind

Dalam teori grup, grup Dedekind adalah grup G sedemikian rupa sehingga setiap subgrup dari G adalah normal. Semua grup Abelian adalah grup Dedekind. Grup Dedekind non-abelian disebut grup Hamiltonian.^[1]

Contoh paling familiar (dan terkecil) dari grup Hamiltonian adalah grup angka empat dari orde 8, dilambangkan dengan Q₈. Dedekind dan Baer telah menunjukkan (dalam kasus urutan terbatas dan masing-masing tak terbatas) bahwa setiap grup Hamiltonian adalah produk langsung dari bentuk G = Q₈ × B × D, di mana B adalah grup abelian dasar 2, dan D adalah grup abelian periodik dengan semua elemen berorde ganjil.

Kelompok Dedekind dinamai Richard Dedekind, yang menyelidiki mereka pada (Dedekind 1897), membuktikan bentuk dari teorema struktur di atas (untuk grup hingga). Dia menamai mereka yang non-abelian setelah William Rowan Hamilton, penemu angka empat.

Pada tahun 1898 George Miller menggambarkan struktur grup Hamilton dalam hal urutan dan subgrupnya. Misalnya, dia menunjukkan "grup Hamilton urutan 2^a memiliki 2^{2a − 6} kelompok kuaternion sebagai subgrup". In 2005 Horvat et al^[2] menggunakan struktur ini untuk menghitung jumlah kelompok Hamilton dari setiap urutan n = 2^eo di mana o adalah bilangan bulat ganjil. Kapan e < 3 maka tidak ada kelompok ordo Hamiltonian n , jika tidak, ada bilangan yang sama karena ada grup ordo Abelian o .

Catatan

Referensi

• Dedekind, Richard (1897), "Ueber Gruppen, deren sämmtliche Theiler Normaltheiler sind", Mathematische Annalen, 48 (4): 548–561, doi:10.1007/BF01447922, ISSN 0025-5831, JFM 28.0129.03, MR 1510943, diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2016-03-03, diakses tanggal 2020-12-19.
• Baer, R. Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe, Sitz.-Ber. Heidelberg. Akad. Wiss.2, 12–17, 1933.
• Hall, Marshall (1999), The theory of groups, AMS Bookstore, hlm. 190, ISBN 978-0-8218-1967-8.
• Horvat, Boris; Jaklič, Gašper; Pisanski, Tomaž (2005), "On the number of Hamiltonian groups", Mathematical Communications, 10 (1): 89–94, arXiv:math/0503183, Bibcode:2005math......3183H.
• Miller, G. A. (1898), "On the Hamilton groups", Bulletin of the American Mathematical Society, 4 (10): 510–515, doi:10.1090/s0002-9904-1898-00532-3.
• Taussky, Olga (1970), "Sums of squares", American Mathematical Monthly, 77 (8): 805–830, doi:10.2307/2317016, hdl:10338.dmlcz/120593, JSTOR 2317016, MR 0268121.