Faktorion

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan b {\displaystyle b} $b$ adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya.^[1]^[2]^[3] Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.^[4]

Definisi

Katakan n {\displaystyle n} $n$ adalah bilangan asli. Untuk basis b > 1 {\displaystyle b>1} $b>1$ , kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit ^[5] ^[6] n {\displaystyle n} $n$ , SFD b : N → N {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} } $\operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ , sekiranya:

SFD b ⁡ ( n ) = ∑ i = 0 k − 1 d i ! . {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.} $\operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.$

Di mana k = ⌊ log b ⁡ n ⌋ + 1 {\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1} $k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1$ adalah jumlah digit bilangan pada basis b {\displaystyle b} $b$ , n ! {\displaystyle n!} $n!$ adalah faktorial dari n {\displaystyle n} $n$ dan

d i = n mod b i + 1 − n mod b i b i {\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}} $d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}$

adalah nilai dari digit ke- i {\displaystyle i} $i$ bilangan tersebut. Bilangan asli n {\displaystyle n} $n$ tergolong b {\displaystyle b} $b$ - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk SFD b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} $\operatorname {SFD} _{b}$ , yaitu jika SFD b ⁡ ( n ) = n {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=n} $\operatorname {SFD} _{b}(n)=n$ .^[7] 1 {\displaystyle 1} $1$ dan 2 {\displaystyle 2} $2$ adalah titik tetap untuk seluruh basis b {\displaystyle b} $b$ , dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap b {\displaystyle b} $b$ , dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis b = 10 {\displaystyle b=10} $b=10$ adalah faktorion karena 145 = 1 ! + 4 ! + 5 ! {\displaystyle 145=1!+4!+5!} $145=1!+4!+5!$ .

Untuk b = 2 {\displaystyle b=2} $b=2$ , jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka k {\displaystyle k} $k$ pada basis 2 karena 0 ! = 1 ! = 1 {\displaystyle 0!=1!=1} $0!=1!=1$ .

Suatu bilangan asli n {\displaystyle n} $n$ adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik SFD b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} $\operatorname {SFD} _{b}$ , Di mana SFD b k ⁡ ( n ) = n {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n} $\operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n$ untuk bilangan bulat positif k {\displaystyle k} $k$ , dan membentuk siklus periode k {\displaystyle k} $k$ . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai k = 1 {\displaystyle k=1} $k=1$ , dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai k = 2 {\displaystyle k=2} $k=2$ . ^[8] ^[9]

Semua bilangan asli n {\displaystyle n} $n$ adalah poin praperiodik untuk SFD b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} $\operatorname {SFD} _{b}$ , apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis b {\displaystyle b} $b$ dengan digit-digit k {\displaystyle k} $k$ menghasilkan b k − 1 ≤ n ≤ ( b − 1 ) ! ( k ) {\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)} $b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)$ .Tapi, jika k ≥ b {\displaystyle k\geq b} $k\geq b$ , maka b k − 1 > ( b − 1 ) ! ( k ) {\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)} $b^{k-1}>(b-1)!(k)$ untuk b > 2 {\displaystyle b>2} $b>2$ , jadi apapun n {\displaystyle n} $n$ akan menghasilkan n > SFD b ⁡ ( n ) {\displaystyle n>\operatorname {SFD} _{b}(n)} $n>\operatorname {SFD} _{b}(n)$ hingga n < b b {\displaystyle n<b^{b}} $n<b^{b}$ . Ada banyak bilangan asli yang kurang dari b b {\displaystyle b^{b}} $b^{b}$ , oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari b b {\displaystyle b^{b}} $b^{b}$ , dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk b = 2 {\displaystyle b=2} $b=2$ , jumlah digit k ≤ n {\displaystyle k\leq n} $k\leq n$ untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis b {\displaystyle b} $b$ .

SFD b i ⁡ ( n ) {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)} $\operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)$ perlu jumlah iterasi i {\displaystyle i} $i$ untuk mencapai titik tetap SFD b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} $\operatorname {SFD} _{b}$ fungsi persistensi n {\displaystyle n} $n$ , dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Faktorion SFD_b

b = ( k − 1)!

Katakan k {\displaystyle k} $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan b = ( k − 1 ) ! {\displaystyle b=(k-1)!} $b=(k-1)!$ . Oleh sebab itu:

n 1 = k b + 1 {\displaystyle n_{1}=kb+1} $n_{1}=kb+1$ adalah faktorion SFD b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} $\operatorname {SFD} _{b}$ untuk semua k . {\displaystyle k.} $k.$

n 2 = k b + 2 {\displaystyle n_{2}=kb+2} $n_{2}=kb+2$ adalah faktorion SFD b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} $\operatorname {SFD} _{b}$ untuk semua k {\displaystyle k} $k$ .

Faktorion
k {\displaystyle k} $k$	b {\displaystyle b} $b$	n 1 {\displaystyle n_{1}} $n_{1}$	n 2 {\displaystyle n_{2}} $n_{2}$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k ! − k +1

Katakan k {\displaystyle k} $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis b = k ! − k + 1 {\displaystyle b=k!-k+1} $b=k!-k+1$ . Oleh sebab itu:

n 1 = b + k {\displaystyle n_{1}=b+k} $n_{1}=b+k$ adalah faktorion SFD b {\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}} $\operatorname {SFD} _{b}$ untuk semua k {\displaystyle k} $k$ .

Tabel faktorion dan siklus SFD_b

Basis b {\displaystyle b} $b$ mewakilkan semua angka.

Basis b {\displaystyle b} $b$	Faktorion nontrivial ( n ≠ 1 {\displaystyle n\neq 1} $n\neq 1$ , n ≠ 2 {\displaystyle n\neq 2} $n\neq 2$ ) ^[10]	Siklus
2	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$
3	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$
6	41, 42	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$
7	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	∅ {\displaystyle \varnothing } $\varnothing$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871 ^[9] 872 → 45362 → 872 ^[8]