Distribusi Boltzmann

Distribusi Boltzmann dalam kimia, fisika, dan matematika (disebut juga Distribusi Gibbs ^[1]) adalah suatu fungsi distribusi atau menyatakan probabilitas pengukuran untuk distribusi keadaan suatu sistem. Distribusi ini ditemukan dalam konteks mekanika statistik klasik oleh J.W. Gibbs pada tahun 1901. Distribusi ini menjadi dasar utama konsep ensemble kanonik . Distribusi Maxwell–Boltzmann merupakan distribusi Boltzmann yang digunakan secara khusus untuk menggambarkan kecepatan partikel gas. Secara matematis distribusi Boltzmann lebih umum dikenal sebagai Pengukuran Gibbs.

Definisi

Distribusi Boltzmann untuk fraksi banyaknya partikel ke i yang memiliki energi E_i, N_i / N dinyatakan:

N i N = g i e − E i / ( k B T ) Z ( T ) {\displaystyle {N_{i} \over N}={g_{i}e^{-E_{i}/(k_{B}T)} \over Z(T)}} ${N_{i} \over N}={g_{i}e^{-E_{i}/(k_{B}T)} \over Z(T)}$

di mana k B {\displaystyle k_{B}} $k_{B}$ adalah Konstanta Boltzmann, T adalah suhu (tertentu), g i {\displaystyle g_{i}} $g_{i}$ adalah degenerasi (artinya, banyaknya tingkatan energi E i {\displaystyle E_{i}} $E_{i}$ ; terkadang, lebih umum disebut sebagai 'keadaan' yang menyatakan tingkatannya, untuk menghindari penggunaan degenerasi dalam persamaan), N adalah jumlah partikel total and Z(T) adalah fungsi partisi.

N = ∑ i N i , {\displaystyle N=\sum _{i}N_{i},} $N=\sum _{i}N_{i},$

Z ( T ) = ∑ i g i e − E i / ( k B T ) . {\displaystyle Z(T)=\sum _{i}g_{i}e^{-E_{i}/(k_{B}T)}.} $Z(T)=\sum _{i}g_{i}e^{-E_{i}/(k_{B}T)}.$

Dengan kata lain, untuk sistem tunggal pada suhu tertentu, hal ini memberikan probabilitas bahwa sistem mempunyai keadaan tertentu. Distribusi Boltzmann hanya berlaku untuk partikel pada suhu yang cukup tinggi dan massa jenis yang cukup rendah sehingga efek kuantum dapat diabaikan, dan partikel mengikuti Statistik Maxwell–Boltzmann . (lihat artikel untuk penurunan distribusi Boltzmann.)

Distribusi Boltzmann sering menggunakan lambang β = 1/kT di mana β adalah sebagai Beta termodinamika. Lambang e − β E i {\displaystyle e^{-\beta E_{i}}} $e^{-\beta E_{i}}$ atau e − E i / ( k T ) {\displaystyle e^{-E_{i}/(kT)}} $e^{-E_{i}/(kT)}$ ,yang memberikan kemungkinan relatif dari suatu keadaan (unnormalised), disebut sebagai Faktor Boltzmann dan sering muncul dalam studi kimia dan fisika.

Ketika energi partikel hanya berupa energi kinetik

E i = 1 2 m v 2 , {\displaystyle E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2},} $E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2},$

maka distribusi yang diberikan adalah Distribusi Maxwell–Boltzmann yang menyatakan kecepatan molekul gas, sesuai dengan yang telah diramalkan oleh Maxwell pada tahun 1859. Namun distribusi Boltzmann lebih menyatakan hal yang lebih umum. Sebagai contoh, distribusi Boltzmann digunakan untuk memprediksi variasi dari massa jenis partikel dalam medan gravitasi dengan ketinggian, maka E i = 1 2 m v 2 + m g h {\displaystyle E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}+mgh} $E_{i}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mv^{2}+mgh$ . Pada kenyataannya distribusi ini berlaku ketika pertimbangan kuantum diabaikan.

Pada beberapa kasus tertentu, pendekatan kontinu bisa digunakan. jika terdapat keadaan g(E) dE dengan energi Euntuk E + dE, maka distribusi Boltzmann menyatakan probabilitas didtribusi untuk energi:

p ( E ) d E = g ( E ) e − β E ∫ g ( E ′ ) e − β E ′ d E ′ d E . {\displaystyle p(E)\,dE={g(E)e^{-\beta E} \over \int g(E')e^{-\beta E'}\,dE'}\,dE.} $p(E)\,dE={g(E)e^{-\beta E} \over \int g(E')e^{-\beta E'}\,dE'}\,dE.$

maka g(E) disebut sebagai massa jenis suatu keadaan jika energi spektrum bersifat kontinu.

Partikel klasik dengan distribusi energi ini dikatakan mengikuti Statistik Maxwell–Boltzmann.

Dalam batasan klasik, i.e. besarnya harga E / ( k T ) {\displaystyle E/(kT)} $E/(kT)$ atau kecilnya harga massa jenis dari keadaan — maka fungsi gelombang dari partikel tidak tumpang tindih — baik dengan Bose–Einstein maupun Fermi–Dirac menjadi distribusi Boltzmann.

Penurunan

Lihat Statistik Maxwell–Boltzmann.

Referensi

↑ Landau, Lev Davidovich; and Lifshitz, Evgeny Mikhailovich (1980) [1976]. Statistical Physics. Vol. 5 (Edisi 3). Oxford: Pergamon Press. ISBN 0-7506-3372-7.{{cite book}}: Parameter tidak dikenal |series-title= diabaikanPemeliharaan CS1: Banyak nama: daftar penulis (link) Translated by J.B. Sykes and M.J. Kearsley. See section 28