 | Artikel atau sebagian dari artikel ini mungkin diterjemahkan dari Examples of groups di en.wikipedia.org. Isinya masih belum akurat, karena bagian yang diterjemahkan masih perlu diperhalus dan disempurnakan. Jika Anda menguasai bahasa aslinya, harap pertimbangkan untuk menelusuri referensinya dan menyempurnakan terjemahan ini. Anda juga dapat ikut bergotong royong pada ProyekWiki Perbaikan Terjemahan. (Pesan ini dapat dihapus jika terjemahan dirasa sudah cukup tepat. Lihat pula: panduan penerjemahan artikel) |
 | Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini)
(Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)
|
Beberapa dasar contoh grup dalam matematika diberikan pada grup. Contoh lebih lanjut tercantum di sini.
Permutasi dari satu himpunan tiga elemen
. Perulangan menentukan serangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas (e). Misalnya, gelung
e
−
b
a
−
a
b
{\displaystyle e-ba-ab}
mencerminkan fakta bahwa
b
a
2
=
a
b
{\displaystyle ba^{2}=ab}
dan
b
a
3
=
e
{\displaystyle ba^{3}=e}
, as serta fakta bahwa
a
b
2
=
b
a
{\displaystyle ab^{2}=ba}
dan
a
b
3
=
e
{\displaystyle ab^{3}=e}
"Lingkaran" lainnya adalah akar kesatuan sehingga, misalnya
a
2
=
e
{\displaystyle a^{2}=e}
.Andaikan tiga blok berwarna (merah, hijau, dan biru), awalnya ditempatkan dalam urutan
R
G
B
{\displaystyle \mathrm {RGB} }
Kita dapat menulis
x
y
{\displaystyle xy}
-
e
:
R
G
B
→
R
G
B
{\displaystyle e\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {RGB} }
-
a
:
R
G
B
→
G
R
B
{\displaystyle a\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {GRB} }
-
b
:
R
G
B
→
R
B
G
{\displaystyle b\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {RBG} }
-
a
b
:
R
G
B
→
B
R
G
{\displaystyle ab\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {BRG} }
-
b
a
:
R
G
B
→
G
B
R
{\displaystyle ba\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {GBR} }
-
a
b
a
:
R
G
B
→
B
G
R
{\displaystyle aba\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {BGR} }
Perhatikan bahwa
a
a
{\displaystyle aa}
Dengan inspeksi, kita dapat menentukan asosiatif dan ketertutupan; perhatikan secara khusus bahwa
(
b
a
)
b
=
b
a
b
=
b
(
a
b
)
{\displaystyle (ba)b=bab=b(ab)}
Karena hal tersebut dibangun dari operasi dasar
a
{\displaystyle a}
Grup bidang translasi
Translasi bidang adalah gerakan kaku dari setiap titik bidang untuk jarak tertentu ke arah tertentu..
Misalnya "bergerak ke arah Timur Laut-Timur sejauh 2 mil" adalah translasi dari bidang.
Dua translasi seperti
a
{\displaystyle a}
-
a
=
bergerak ke Timur Laut sejauh 3 mil
{\displaystyle a={\text{bergerak ke Timur Laut sejauh 3 mil}}}
dan
-
b
=
bergerak ke Tenggara sejauh 4 mil
{\displaystyle b={\text{bergerak ke Tenggara sejauh 4 mil}}}
maka
-
a
∘
b
=
bergerak ke Timur sejauh 5 mil
{\displaystyle a\circ b={\text{bergerak ke Timur sejauh 5 mil}}}
(lihat Teorema Pythagoras mengapa demikian, secara geometris).
Himpunan semua translasi bidang dengan komposisi sebagai operasi membentuk grup:
- Jika
a
{\displaystyle a}
- Komposisi translasi bersifat asosiatif:
(
a
∘
b
)
∘
c
=
a
∘
(
b
∘
c
)
{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}
.
- Elemen identitas untuk grup ini adalah translasi dengan resep "bergerak nol mil ke arah yang diinginkan".
- Kebalikan dari translasi diberikan dengan berjalan ke arah yang berlawanan untuk jarak yang sama.
Ini adalah grup abelian dan contoh pertama kita (tidak terpisah) dari grup Lie: grup yang juga merupakan manifold.
Grup simetri persegi: grup dihedral dengan urutan 8
a {\displaystyle a}
adalah rotasi searah jarum jamdan b {\displaystyle b}
pantulan horizontal. D i h 4 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}} sebagai grup titik dua dimensi,
D
4
{\displaystyle \mathrm {D} _{4}}
 ,
[
4
]
{\displaystyle [4]}
![{\displaystyle [4]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d865272ff436d713d5069ae3066bbe07a000a99) ,
(
∗
4
∙
)
{\displaystyle (^{*}4\bullet )}
 , urutan 4, dengan rotasi 4 kali lipat dan pembangkit cermin. |
 D i h 4 {\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}} dalam grup dihedral 3D,
D
4
{\displaystyle \mathrm {D} _{4}}
,
[
4
,
2
]
+
{\displaystyle [4,2]^{+}}
![{\displaystyle [4,2]^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddd094e362855dcf9507824c5218142dcc41a9a) ,
422
{\displaystyle 422}
 , urutan 4, dengan pembangkit rotasi 4 kali lipat vertikal urutan 4, dan pembangkit horizontal 2 kali lipat |
Grup sangat penting untuk mendeskripsikan simetri objek, baik itu geometris (seperti tetrahedron) atau aljabar (seperti kumpulan persamaan). Sebagai contoh, kita menganggap kotak kaca dengan ketebalan tertentu (dengan huruf "F" tertulis di atasnya, hanya untuk membuat posisi yang berbeda dapat didiskriminasi).
Untuk mendeskripsikan simetrinya, kita membentuk himpunan dari semua gerakan kaku persegi yang tidak membuat perbedaan terlihat (kecuali "F"). Misalnya, jika sebuah objek berputar
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
Diberikan dua gerakan seperti
x
{\displaystyle x}
Intinya adalah bahwa himpunan semua gerakan itu, dengan komposisi sebagai operasi, membentuk sebuah grup. Grup ini adalah deskripsi paling ringkas dari simetri bujur sangkar. Para ahli kimia menggunakan grup simetri jenis ini untuk menggambarkan simetri kristal dan molekul.
Menghasilkan grup
Mari selidiki lagi grup simetri persegi kita. Saat ini, kita memiliki elemen
a
{\displaystyle a}
Kita mengatakan bahwa elemen
a
{\displaystyle a}
Grup urutan 8 ini memiliki tabel Cayley berikut:
| o | e | b | a | a2 | a3 | ab | a2b | a3b |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | b | a | a2 | a3 | ab | a2b | a3b |
| b | b | e | a3b | a2b | ab | a3 | a2 | a |
| a | a | ab | a2 | a3 | e | a2b | a3b | b |
| a2 | a2 | a2b | a3 | e | a | a3b | b | ab |
| a3 | a3 | a3b | e | a | a2 | b | ab | a2b |
| ab | ab | a | b | a3b | a2b | e | a3 | a2 |
| a2b | a2b | a2 | ab | b | a3b | a | e | a3 |
| a3b | a3b | a3 | a2b | ab | b | a2 | a | e |
Untuk dua elemen dalam grup, tabel mencatat komposisi mereka.
Di mana "
a
3
b
{\displaystyle a^{3}b}
Dalam matematika, grup ini dikenal sebagai grup dihedral dengan urutan 8, dan juga dilambangkan
D
i
h
4
{\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}
Subgrup normal
;_subgroup_of_S4.svg)
Versi tabel Cayley ini menunjukkan bahwa grup ini memiliki satu subgrup normal yang ditampilkan dengan latar belakang merah. Dalam tabel ini
r
{\displaystyle r}
| e | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | r1 | r2 | r3 | fv | fh | fd | fc |
| r1 | r1 | r2 | r3 | e | fc | fd | fv | fh |
| r2 | r2 | r3 | e | r1 | fh | fv | fc | fd |
| r3 | r3 | e | r1 | r2 | fd | fc | fh | fv |
| fv | fv | fd | fh | fc | e | r2 | r1 | r3 |
| fh | fh | fc | fv | fd | r2 | e | r3 | r1 |
| fd | fd | fh | fc | fv | r3 | r1 | e | r2 |
| fc | fc | fv | fd | fh | r1 | r3 | r2 | e |
| Elemen e, r1, r2, dan r3 membentuk subgrup, disorot di merah (wilayah kiri atas). Coset kiri dan kanan subgrup ini disorot di hijau (di baris terakhir) dan kuning (kolom terakhir), masing-masing. | ||||||||
Grup bebas pada dua pembangkit
Grup bebas dengan dua pembangkit a dan b terdiri dari semua pita hingga yang dapat dibentuk dari empat simbol a, a−1, b dan b−1 sedemikian rupa sehingga tidak ada a yang muncul tepat di sebelah a−1 dan tidak ada b yang muncul tepat di sebelah a b−1. Dua string tersebut dapat digabungkan dan diubah menjadi string jenis ini dengan berulang kali mengganti substring "terlarang" dengan string kosong. Misalnya: "abab−1a−1" concatenated with "abab−1a" yields "abab−1a−1abab−1a", yang direduksi menjadi "abaab−1a". Seseorang dapat memeriksa bahwa himpunan string tersebut dengan operasi ini membentuk grup dengan elemen netral string kosong ε: = "". (Biasanya tanda petik tidak ada; inilah mengapa simbol ε! Adalah yg dibutuhkan)
Ini adalah grup takabelian tak terbatas lainnya.
Grup bebas penting dalam topologi aljabar; grup bebas dalam dua pembangkit juga digunakan untuk membuktikan paradoks Banach–Tarski.
Lihat pula
Referensi
 | Bagian ini kosong. Anda bisa membantu dengan melengkapinya. (Desember 2020) |