Persamaan normal Hesse

Persamaan normal Hesse (dinamai dari matematikawan Otto Hesse) adalah persamaan yang digunakan dalam bidang geometri analitis. Persamaan ini mendeskripsikan garis di R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} $\mathbb {R} ^{2}$ atau bidang di ruang Euklides R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} $\mathbb {R} ^{3}$ atau bidang di dimensi yang lebih tinggi.^[1] Persamaan ini biasanya digunakan untuk menghitung jarak.

Persamaan ini ditulis dengan notasi vektor sebagai berikut:

r → ⋅ n → 0 − d = 0. {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,} ${\vec {r}}\cdot {\vec {n}}_{0}-d=0.\,$

Titik ⋅ {\displaystyle \cdot } $\cdot$ merupakan produk skalar atau produk titik. Vektor n → 0 {\displaystyle {\vec {n}}_{0}} ${\vec {n}}_{0}$ melambangkan vektor normal satuan E atau g, yang mengarah dari titik awal ke bidangnya. Jarak d ≥ 0 {\displaystyle d\geq 0} $d\geq 0$ adalah jarak dari titik awal ke bidangnya.

Persamaan ini dipenuhi oleh semua titik P yang dideskripsikan oleh vektor lokasi r → {\displaystyle {\vec {r}}} ${\vec {r}}$ , yang terletak di bidang E.

Derivasi/perhitungan dari bentuk normal

Dalam bentuk normal:

( r → − a → ) ⋅ n → = 0 {\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,} $({\vec {r}}-{\vec {a}})\cdot {\vec {n}}=0\,$

suatu bidang ditetapkan oleh vektor normal n → {\displaystyle {\vec {n}}} ${\vec {n}}$ dan juga posisi sembarang vektor a → {\displaystyle {\vec {a}}} ${\vec {a}}$ dan titik A ∈ E {\displaystyle A\in E} $A\in E$ . Arah n → {\displaystyle {\vec {n}}} ${\vec {n}}$ dipilih untuk memenuhi pertidaksamaan berikut:

a → ⋅ n → ≥ 0 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,} ${\vec {a}}\cdot {\vec {n}}\geq 0\,$

Dengan membagi vektor normal n → {\displaystyle {\vec {n}}} ${\vec {n}}$ dengan | n → | {\displaystyle |{\vec {n}}|} $|{\vec {n}}|$ , vektor satuan normal dapat diperoleh: