Bagian pecahan

Bagian pecahan atau bagian desimal^[1] dari bilangan real non-negatif x {\displaystyle x} adalah angka lain setelah bagian bilangan bulat dari bilangan tersebut. Bagian bilangan bulat dari suatu bilangan sendiri dapat didefinisikan menggunakan fungsi lantai dari x {\displaystyle x} atau ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } . Kemudian, bagian pecahannya dapat dirumuskan sebagai:

frac ⁡ ( x ) = x − ⌊ x ⌋ , x > 0 {\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0} .

Pada bilangan positif yang ditulis dalam sistem bilangan posisi konvensional (seperti biner atau desimal), bagian pecahannya ditulis sesuai dengan digit setelah koma. Misalnya, 1,7 memiliki bagian desimal 0,7.

Angka negatif

Terdapat tiga cara untuk mendefinisikan bagian pecahan dari bilangan negatif. Ketiga definisi tersebut adalah:

• Definisi seperti bilangan positif,^[2] yaitu

frac ( x ) = x − ⌊ x ⌋ {\textstyle {\text{frac}}(x)=x-\lfloor x\rfloor }

• Definisi bagian setelah koma,^[3] yaitu

frac ( x ) = | x | − ⌊ | x | ⌋ {\displaystyle {\text{frac}}(x)=\left\vert x\right\vert -\lfloor \left\vert x\right\vert \rfloor }

• Definisi fungsi ganjil,^[4] yaitu

frac ⁡ ( x ) = { x − ⌊ x ⌋ x ≥ 0 x − ⌈ x ⌉ x < 0 {\displaystyle \operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}}

dengan ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } adalah fungsi bilangan bulat terkecil atau fungsi atap dari x {\displaystyle x} .

Definisi terakhir juga dapat ditulis dengan lebih sederhana dengan cara:

frac ⁡ ( x ) = x − ⌊ | x | ⌋ ⋅ sgn ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)} .

Ketiga definisi tersebut menghasilkan bagian pecahan yang berbeda. Misalnya, untuk bagian pecahan dari -1,3 akan menghasilkan 0,7 dari defisini pertama, 0,3 dari definisi kedua, dan -0,3 dari definisi ketiga.

Kaitan dengan pecahan berlanjut

Setiap bilangan riil dapat direpresentasikan sebagai pecahan berlanjut, yaitu penjumlahan dari bagian bilangan bulat dengan timbal balik dari bagian pecahannya. Timbal balik dari bagian pecahan tersebut selanjutnya dapat ditulis sebagai penjumlahan dari bagian bilangan bulatnya dengan timbal balik dari bagian pecahannya, dan seterusnya.

Referensi