Dalam trigonometri, aturan kosinus, rumus kosinus, hukum kosinus, atau rumus al-Kāshī, adalah persamaan yang memberikan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga tersebut. Menggunakan notasi pada Gambar 1, aturan kosinus menyatakan
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
,
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,}
Sejarah
Walaupun konsep kosinus belum dikembangkan pada masanya, Euklides dalam bukunya Elemen (sekitar 300 SM), memberikan teorema geometrik yang hampir sama dengan aturan kosinus. Dalam buku tersebut membahas dua kasus: segitiga lancip dan segitiga tumpul, yang masing-masing bersesuaian dengan kasus nilai kosinus positif dan nilai kosinus negatif. Menggunakan notasi yang tertera pada Gambar 2, teorema oleh Euklides dapat ditulis sebagai
A
B
2
=
C
A
2
+
C
B
2
+
2
(
C
A
)
(
C
H
)
.
{\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH).}
Perkembangan trigonometri di zaman keemasan Islam memperluas cakupan dan memperbaiki bentuk dari teorema oleh Euklides tersebut. Pada abad kesepuluh, Al-Battani memperumum hasil perolehan Euklid untuk geometri bola. Pada abad kelima belas, dengan telah dikenalnya fungsi trigonometri, Jamshīd al-Kāshī untuk pertama kalinya menyatakan aturan kosinus dalam rumus yang mudah dipakai dalam proses triangulasi.[1][2][3] Rumus ini dipopulerkan di dunia barat oleh François Viète pada abad keenam belas. Selanjutnya pada awal abad ke-19, penggunaan notasi aljabar yang modern memungkinkan aturan kosinus ditulis dalam bentuk yang dikenal saat ini.
Penerapan
Aturan kosinus dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah triangulasi. Ada beberapa kasus yang dapat diselesaikan secara langsung dengan aturan ini (lihat Gambar 3):
- Menentukan panjang sisi ketiga dari segitiga, jika diketahui panjang kedua sisi lainnya dan besar sudut yang diapit oleh dua sisi tersebut:
c
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
;
{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}
- Besar titik sudut pada segitiga (dalam radian) jika panjang semua sisi diketahui:
γ
=
arccos
(
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
)
;
{\displaystyle \,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}
Persamaan-persamaan ini menghasilkan galat pembulatan yang besar jika segitiga sangat lancip, maksudnya panjang c jauh lebih kecil daripada panjang a dan b, atau sudut γ jauh lebih kecil daripada 1.
Bukti
Menggunakan teorema Phytagoras
Perhatikan gambar berikut. Dengan teorema Pythagoras dapat ditulis
-
c
2
=
a
1
2
+
h
2
{\displaystyle c^{2}=a_{1}^{2}+h^{2}}
atau c 2 = ( a − a 2 ) 2 + h 2 {\displaystyle c^{2}=(a-a_{2})^{2}+h^{2}}
dan
-
b
2
=
h
2
+
a
2
2
{\displaystyle b^{2}=h^{2}+a_{2}^{2}}
akibatnya diperoleh
-
h
2
=
c
2
−
(
a
−
a
2
)
2
=
b
2
−
a
2
2
{\displaystyle h^{2}=c^{2}-(a-a_{2})^{2}=b^{2}-a_{2}^{2}}
dapat diturunkan
-
c
2
=
b
2
+
(
a
−
a
2
)
2
−
a
2
2
=
b
2
+
a
2
−
2
a
a
2
+
a
2
2
−
a
2
2
=
b
2
+
a
2
−
2
a
a
2
{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=b^{2}+(a-a_{2})^{2}-a_{2}^{2}\\&=b^{2}+a^{2}-2aa_{2}+a_{2}^{2}-a_{2}^{2}\\&=b^{2}+a^{2}-2aa_{2}\end{aligned}}}
Dari definisi kosinus, dapat ditulis
a
2
=
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle a_{2}=b\cos(\gamma )}
-
c
2
=
b
2
+
a
2
−
2
a
b
cos
(
γ
)
{\displaystyle c^{2}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos(\gamma )}
Lihat pula
Rujukan
- ↑ Pickover, Clifford A. (2009). The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics (dalam bahasa Inggris). Sterling Publishing Company, Inc. hlm. 106. ISBN 9781402757969.
- ↑ Computing : a historical and technical perspective. Igarashi, Yoshihide. Boca Raton, Florida. 2014-05-27. hlm. 78. ISBN 9781482227413. OCLC 882245835.
{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Lain-lain (link) Pemeliharaan CS1: Lokasi tanpa penerbit (link) - ↑ Ilija Baruk (2008). Causality I. A Theory of Energy, Time and Space, Volume 2. hlm. 174.