Analisis Fourier

Transformasi Fourier
Transformasi Fourier Deret Fourier Transformasi Fourier waktu-diskret Transformasi Fourier diskret Transformasi Fourier diskret atas suatu gelanggang Transformasi Fourier pada grup hingga Analisis Fourier Daftar transformasi yang berkaitan

Cabang matematikaTemplat:SHORTDESC:Cabang matematika

Analisis Fourier adalah proses matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah bentuk gelombang kompleks dengan menguraikan gelombang itu menjadi komponen sinusoidalnya. Setiap bentuk gelombang yang kompleks dapat diperlihatkan terdiri dari sejumlah gelombang sinus murni terdiri dari suatu gelombang sinus dasar ditambah harmonik-harmonik khusus gelombang itu. Sebagai contoh, dengan menambahkan harmonik gasal pada sebuah gelombang sinus (yaitu 3f, 5f, 7f, dst.) akan diperoleh gelombang persegi.

Seri Fourier umum yang dapat digunakan untuk menggambarkan fungsi periodik apapun ditentukan oleh:^[1]

f ( t ) = a o + ∑ n = 1 ∞ a n cos n ω t + ∑ n = 1 ∞ b n sin n ω t {\displaystyle {\begin{aligned}f(t)=a_{o}&+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,\cos \,n\omega \,\!t\\&+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,\sin \,n\omega \,\!t\end{aligned}}} ${\begin{aligned}f(t)=a_{o}&+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,\cos \,n\omega \,\!t\\&+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,\sin \,n\omega \,\!t\end{aligned}}$

dengan a n {\displaystyle a_{n}} $a_{n}$ dan b n {\displaystyle b_{n}} $b_{n}$ adalah koefisien-koefisien yang akan dievaluasi untuk berbagai harmonik.

a n = 2 T ∫ − T 2 + T 2 f ( t ) cos n ω t {\displaystyle a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\cos \,n\omega \,\!t} $a_{n}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\cos \,n\omega \,\!t$

b n = 2 T ∫ − T 2 + T 2 f ( t ) sin n ω t {\displaystyle b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\sin \,n\omega \,\!t} $b_{n}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\sin \,n\omega \,\!t$

dengan ω = 2 π T {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}} $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$ dan T {\displaystyle T} $T$ adalah waktu periodik.

Suku DC adalah

a o = 2 T ∫ − T 2 + T 2 f ( t ) δ t {\displaystyle a_{o}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\delta \,\!t} $a_{o}={\frac {2}{T}}\int _{\frac {-T}{2}}^{\frac {+T}{2}}f(t)\delta \,\!t$

Perhatikan bahwa jika F ( t ) = f ( − t ) {\displaystyle F(t)=f(-t)} $F(t)=f(-t)$ maka fungsi itu adalah genap, yang memberikan simetri terhadap titik asal dan kemudian hanya suku-suku cosinus yang muncul. Sebaliknya jika F ( t ) = − f ( − t ) {\displaystyle F(t)=-f(-t)} $F(t)=-f(-t)$ maka fungsi adalah gasal dan hanya suku-suku sinus yang muncul.

Bentuk gelombang	DC	Dasar	Ke-2	Ke-3	Ke-4	Ke-5	Ke-6	Ke-7
Persegi	-	+ 4 E π {\displaystyle +{\frac {4E}{\pi }}} $+{\frac {4E}{\pi }}$	-	− 4 E 3 π {\displaystyle -{\frac {4E}{3\pi }}} $-{\frac {4E}{3\pi }}$	-	+ 4 E 5 π {\displaystyle +{\frac {4E}{5\pi }}} $+{\frac {4E}{5\pi }}$	-	− 4 E 7 π {\displaystyle -{\frac {4E}{7\pi }}} $-{\frac {4E}{7\pi }}$
Segitiga	-	+ 8 E π 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{\pi ^{2}}}} $+{\frac {8E}{\pi ^{2}}}$	-	+ 8 E ( 3 π ) 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{(3\pi )^{2}}}} $+{\frac {8E}{(3\pi )^{2}}}$	-	+ 8 E ( 5 π ) 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{(5\pi )^{2}}}} $+{\frac {8E}{(5\pi )^{2}}}$	-	+ 8 E ( 7 π ) 2 {\displaystyle +{\frac {8E}{(7\pi )^{2}}}} $+{\frac {8E}{(7\pi )^{2}}}$
Gigi gergaji	-	+ 2 E π {\displaystyle +{\frac {2E}{\pi }}} $+{\frac {2E}{\pi }}$	− 2 E 2 π {\displaystyle -{\frac {2E}{2\pi }}} $-{\frac {2E}{2\pi }}$	+ 2 E 3 π {\displaystyle +{\frac {2E}{3\pi }}} $+{\frac {2E}{3\pi }}$	− 2 E 4 π {\displaystyle -{\frac {2E}{4\pi }}} $-{\frac {2E}{4\pi }}$	+ 2 E 5 π {\displaystyle +{\frac {2E}{5\pi }}} $+{\frac {2E}{5\pi }}$	− 2 E 6 π {\displaystyle -{\frac {2E}{6\pi }}} $-{\frac {2E}{6\pi }}$	+ 2 E 7 π {\displaystyle +{\frac {2E}{7\pi }}} $+{\frac {2E}{7\pi }}$

Referensi

↑ "1.7: Fourier Analysis". Physics LibreTexts (dalam bahasa Inggris). 6 April 2024. Diakses tanggal 12 Juni 2024.{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)