Teorema limit pusat

Dalam teori peluang, teorema limit pusat menyatakan bahwa purata dari iterasi peubah acak dalam jumlah yang cukup besar, masing-masing dengan nilai ekspektasi dan variansi yang terdefinisi dengan baik, akan didistribusikan mendekati distribusi normal. Artinya, bila sampel diperoleh berisi sejumlah besar observasi, dan masing-masing observasi didapatkan dengan cara yang tidak tergantung satu sama lain (independen), dan rata-rata aritmetika (purata) dihitung dari nilai-nilai hasil observasi. Bila prosedur ini dilakukan berkali-kali, teorema limit pusat menyatakan bahwa nilai purata ini akan didistribusikan menurut "kurva lonceng" (atau distribusi normal).

Teorema limit pusat memnyatakan distribusi sampel dapat dihampiri oleh distribusi normal, asalkan ukuran sampelnya besar.^[1]

Pernyataan matematika

Tinjau Y 1 , Y 2 , . . . , Y n {\displaystyle Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}} $Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}$ peubah acak yang saling bebas dan masing-masing memiliki rataan μ {\displaystyle \mu } $\mu$ dan simpangan baku σ {\displaystyle \sigma } $\sigma$ maka

Z = Y ¯ − μ σ / n {\displaystyle Z={\frac {{\overline {Y}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}} $Z={\frac {{\overline {Y}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}$

menuju distribusi normal baku N ( 0 , 1 ) {\displaystyle N(0,1)} $N(0,1)$ bila n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } $n\rightarrow \infty$ . Di sini Y ¯ = Y 1 + Y 2 + . . . + Y n n {\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{n}}{n}}} ${\overline {Y}}={\frac {Y_{1}+Y_{2}+...+Y_{n}}{n}}$ ^[2]

Asumsi

Teorema ini mengasumsikan bahwa peubah acak yang dibahas independen dan terdistribusi identik. Selain itu tidak ada persyaratan lain untuk distribusi Y i {\displaystyle Y_{i}} $Y_{i}$ . Distribusi tersebut bisa diskret atau kontinu, dan tidak perlu merupakan distribusi normal. ^[3]

Referensi

↑ Walpole, Ronald E; Myers, Raymond H (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan. Diterjemahkan oleh Sembiring, RK (Edisi 4). Bandung: Penerbit ITB. hlm. 249.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Sembiring, R.K. (2003). Analisis Regresi. ITB Press. hlm. 10. ISBN 979-9299-96-9.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
↑ Bertsekas, Dimitri P.; Tsitsiklis, John N. (2002). Introduction to Probability (2nd Ed). Athena Scientific. hlm. 285.{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Status URL (link)