Subgrup torsi

Dalam teori grup abelian, subgrup torsi A_T dari grup abelian A adalah subgrup dari A yang terdiri dari semua elemen yang memiliki urutan (elemen torsi dari A^[1]). Grup abelian A disebut grup 'torsi' (atau periodik) jika setiap elemen A memiliki urutan terbatas dan Disebut 'bebas torsi' jika setiap elemen A .

Buktinya A_T ditutup di bawah operasi grup bergantung pada komutatifitas operasi (lihat bagian contoh).

Jika A adalah abelian, maka subgrup torsi T adalah subgrup berkarakteristik lengkap dari A dan grup faktor A/T bebas torsi. Ada fungsi kovarian dari kategori grup abelian ke kategori grup torsi yang mengirimkan setiap grup ke subgrup torsi dan setiap homomorfisme ke pembatasannya ke subgrup torsi. Ada fungsi kovarian lain dari kategori grup abelian ke kategori grup bebas torsi yang mengirim setiap grup ke hasil bagi oleh subgrup torsi, dan mengirimkan setiap homomorfisme ke homomorfisme yang diinduksi secara jelas (yang mudah dilihat untuk didefinisikan dengan baik).

Jika A adalah dihasilkan secara terbatas dan abelian, maka dapat dituliskan sebagai jumlah langsung dari subgrup torsi T dan subgrup bebas torsi (tetapi ini tidak berlaku untuk semua grup abelian yang dihasilkan tanpa batas). Dalam setiap dekomposisi A sebagai jumlah langsung dari subgrup torsi S dan subkelompok bebas torsi, S harus sama dengan T (tetapi subgrup bebas torsi tidak ditentukan secara unik). Ini adalah langkah kunci dalam klasifikasi grup abelian yang dihasilkan secara hingga.

Subgrup p pada torsi daya

Untuk setiap grup abelian ( A , + ) {\displaystyle (A,+)} $(A,+)$ dan bilangan prima p pada himpunan A_Tp dari elemen A yang memiliki urutan kekuatan p adalah subgrup yang disebut subgrup p pada torsi daya atau, lebih longgar, subgrup p torsi :

A T p = { a ∈ A | ∃ n ∈ N , p n a = 0 } . {\displaystyle A_{T_{p}}=\{a\in A\;|\;\exists n\in \mathbb {N} \;,p^{n}a=0\}.\;} $A_{T_{p}}=\{a\in A\;|\;\exists n\in \mathbb {N} \;,p^{n}a=0\}.\;$

Subgrup torsi A_T isomorfik terhadap jumlah langsung dari subgrup p torsi daya atas semua bilangan prima p :

A T ≅ ⨁ p ∈ P A T p . {\displaystyle A_{T}\cong \bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;} $A_{T}\cong \bigoplus _{p\in P}A_{T_{p}}.\;$

Ketika A adalah grup abelian terbatas, A_Tp bertepatan dengan subgrup Sylow- p dari A .

Setiap subgrup- p pada torsi daya dari A adalah subgrup karakteristik penuh. Lebih kuat lagi, setiap homomorfisme antara kelompok abelian mengirimkan setiap subgrup p torsi daya ke dalam subgrup torsi daya yang sesuai p .

Untuk setiap bilangan prima p , ini menyediakan functor dari kategori grup abelian ke kategori grup p torsi daya yang mengirim setiap grup ke subgrup p torsi daya, dan membatasi setiap homomorfisme ke subgrup p torsi. Produk di atas himpunan semua bilangan prima pembatasan fungsi ini ke kategori kelompok torsi, adalah fungsi setia dari kategori kelompok torsi ke produk atas semua bilangan prima dari kategori grup p torsi. Dalam arti tertentu, ini berarti bahwa mempelajari grup p torsi dalam isolasi memberi tahu kita segala sesuatu tentang kelompok torsi secara umum.

Contoh dan hasil selanjutnya

Subset torsi dari grup non-abelian secara umum bukanlah subgrup. Misalnya, dalam grup dihedral tak hingga, yang memiliki presentasi:

⟨ x, y | x² = y² = 1 ⟩

elemen xy adalah hasil kali dari dua elemen torsi, tetapi memiliki urutan tak hingga.

Elemen torsi dalam grup nilpoten membentuk subgrup normal.^[2]
Setiap grup abelian terbatas adalah grup torsi. Namun tidak setiap grup torsi terbatas: pertimbangkan jumlah langsung dari dapat dihitung salinan dari grup siklik C₂; ini adalah kelompok torsi karena setiap elemen memiliki urutan 2. Juga tidak perlu ada batas atas pada urutan elemen dalam grup torsi jika tidak dihasilkan tanpa batas, sebagai contoh dari grup faktor Q/Z.
Setiap grup abelian bebas bebas torsi, tetapi kebalikannya tidak benar, seperti yang ditunjukkan oleh grup aditif dari bilangan rasional Q.
Bahkan jika A tidak dibuat secara terbatas, ukuran dari bagian bebas puntirnya ditentukan secara unik, seperti yang dijelaskan lebih detail dalam artikel di peringkat grup abelian.
Grup abelian A bebas torsi jika dan hanya jika datar sebagai modul Z, yang berarti bahwa setiap kali C adalah subgrup dari beberapa grup abelian B , maka peta natural dari produk tensor C ⊗ A ke B ⊗ A adalah injektif.
Meregangkan grup abelian A dengan Q (atau grup yang dapat dibagi) akan membunuh torsi. Artinya, jika T adalah grup torsi maka T ⊗ Q = 0. Untuk grup abelian umum A dengan subgrup torsi T pada A ⊗ Q ≅ A/T ⊗ Q.
Mengambil subkelompok torsi membuat kelompok abelian torsi menjadi subkategori intiflektif dari grup abelian, sementara mengambil hasil bagi oleh subkelompok torsi membuat kelompok abelian bebas torsi menjadi subkategori reflektif.