Simetri ikosahedral

Artikel ini memiliki beberapa masalah. Tolong bantu memperbaikinya atau diskusikan masalah-masalah ini di halaman pembicaraannya. (Pelajari bagaimana dan kapan saat yang tepat untuk menghapus templat pesan ini) Artikel ini memiliki bagian pembuka yang perlu ditulis ulang. Silakan membaca panduan bagian pembuka dan bantu mengembangkan artikel ini semampu Anda. (Juli 2021) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) Artikel ini sudah memiliki referensi, tetapi tidak disertai kutipan yang cukup. Anda dapat membantu mengembangkan artikel ini dengan menambahkan lebih banyak kutipan pada teks artikel. (Juli 2021) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Grup titik dalam tiga dimensi

Simetri involusi Cs, (*) [ ] =	Simetri siklik Cnv, (*nn) [n] =	Simetri dihedral Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup polihedral, [n,3], (*n32)
Simetri tetrahedral Td, (*332) [3,3] =	Simetri oktahedral Oh, (*432) [4,3] =	Simetri ikosahedral Ih, (*532) [5,3] =

Sebuah ikosahedron reguler memiliki 60 simetri rotasi (atau pelestari orientasi), dan urutan simetri sebanyak 120 termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah dodecahedron beraturan memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan ganda dari ikosahedron.

Grup simetri penuh (termasuk refleksi) dikenal juga sebagai grup Coxeter H₃, dan diwakili oleh notasi Coxeter [5,3] dan diagram Coxeter . Himpunan simetri orientasi-kekal dalam bentuk subgrup isomorfik pada grup A₅ (grup selang-seling pada 5 huruf).

Sebagai titik grup

Terlepas dari dua deret tak hingga dari simetri prismatik dan antiprismatik, simetri ikosahedral rotasi atau simetri ikosahedral kiral dari objek kiral dan simetri ikosahedral penuh atau simetri ikosahedral akiral adalah simetri titik diskret (atau ekuivalen, simetri pada bola) dengan grup simetri terbesar.

Simetri ikosahedral tidak kompatibel dengan simetri translasi, jadi tidak ada grup titik kristalografi atau grup ruang terkait.

Schö.	Coxeter		Orb.	Struktur abstrak	Orde
I	[5,3]+		532	A5	60
Ih	[5,3]		*532	A5×2	120

Presentasi yang sesuai dengan di atas adalah:

I : ⟨ s , t ∣ s 2 , t 3 , ( s t ) 5 ⟩   {\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }

I h : ⟨ s , t ∣ s 3 ( s t ) − 2 , t 5 ( s t ) − 2 ⟩ .   {\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }

Ini sesuai dengan grup ikosahedral (rotasi dan penuh) sebagai (2,3,5) grup segitiga.

Presentasi pertama diberikan oleh William Rowan Hamilton pada tahun 1856, dalam makalahnya tentang kalkulus ikosian.^[1]

Perhatikan bahwa presentasi lain dimungkinkan, misalnya sebagai grup selang-seling (untuk I).

Visualisasi

Schoe. (Orb.)	Notasi Coxeter	Elemen	Diagram cermin
			Ortogonal	Proyeksi stereografis
Ih (*532)	[5,3]	Garis cermin: 15
I (532)	[5,3]+	Titik girasi: 125 203 302

Struktur grup

Tepi sebuah bola gabungan lima oktahedra mewakili 15 bidang cermin sebagai lingkaran besar berwarna. Setiap oktahedron/segi delapan mewakili 3 bidang cermin ortogonal pada tepinya.
Simetri piritohedron adalah subgrup indeks 5 simetri ikosahedral, dengan 3 garis refleksi hijau ortogonal dan 8 titik girasi urutan-3 merah. Ada 5 orientasi yang berbeda dari simetri piritohedron.

Grup rotasi ikosahedral I adalah urutan 60. Grup I adalah isomorfik hingga A₅, grup selang-seling dari permutasi genap lima objek. Isomorfisme ini diwujudkan dengan "I" pada berbagai senyawa, terutama majemuk lima kubus (yang tertulis di dodecahedron), gabungan lima oktahedra, atau salah satu dari dua senyawa lima tetrahedra (yaitu enantiomorf, dan tertulis di dodecahedron).

Grup berisi 5 versi T_h dengan 20 versi D₃ (10 sumbu, 2 per sumbu), dan 6 versi D₅.

Grup ikosahedral penuh I_h memiliki urutan 120. Memiliki I sebagai subgrup normal dari indeks 2. Grup I_h isomorfik dengan I × Z₂, atau A₅ × Z₂, dengan inversi di tengah sesuai dengan elemen (identitas,-1), dimana Z₂ ditulis secara perkalian.

I_h pada gabungan lima kubus dan gabungan lima oktahedra, namun 1 bertindak sebagai identitas (karena kubus dan oktahedra simetris terpusat). Ia bekerja pada gabungan sepuluh tetrahedra: I pada dua bagian kiral (gabungan dari lima tetrahedra), dan 1 menukar dua bagian. Khususnya, "tidak" bertindak sebagai S₅, dan grup ini tidak isomorfik; lihat di bawah untuk detailnya.

Grup ini berisi 10 versi D_3d dan 6 versi D_5d (simetri seperti antiprisma).

I adalah isomorfik pada PSL₂(5), namun I_h tidak isomorfik terhadap SL₂(5).

Isomorfisme I dengan A₅

Hal ini berguna untuk menggambarkan secara eksplisit seperti apa isomorfisme antara I dan A₅. Pada tabel berikut, permutasi P_i dan Q_i masing-masing bekerja pada 5 dan 12 elemen, sedangkan matriks rotasi M_i adalah elemen dari I. Jika P_k adalah hasil kali dari permutasi P_i dan menerapkan P_j padanya, maka untuk nilai yang sama dari i, j dan k, juga benar bahwa Q_k adalah hasil kali dari pengambilan Q_i dan menerapkan Q_j, dan juga mengalikan sebuah vektor dengan M_k sama dengan mengalikan vektor tersebut dengan M_i dan kemudian mengalikan hasilnya dengan M_j, yaitu M_k = M_j × M_i. Karena permutasi P_i adalah semua 60 permutasi genap dari 12345, korespondensi satu-ke-satu dibuat eksplisit, oleh karena itu isomorfismenya juga.

Matriks rotasi	Permutasi 5 pada 1 2 3 4 5	Permutasi 12 pada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
M 1 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}	P 1 {\displaystyle P_{1}} = ()	Q 1 {\displaystyle Q_{1}} = ()
M 2 = [ − 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 2 {\displaystyle P_{2}} = (3 4 5)	Q 2 {\displaystyle Q_{2}} = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
M 3 = [ − 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 3 {\displaystyle P_{3}} = (3 5 4)	Q 3 {\displaystyle Q_{3}} = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
M 4 = [ − 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 4 {\displaystyle P_{4}} = (2 3)(4 5)	Q 4 {\displaystyle Q_{4}} = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
M 5 = [ ϕ 2 1 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 5 {\displaystyle P_{5}} = (2 3 4)	Q 5 {\displaystyle Q_{5}} = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
M 6 = [ − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 6 {\displaystyle P_{6}} = (2 3 5)	Q 6 {\displaystyle Q_{6}} = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
M 7 = [ ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 7 {\displaystyle P_{7}} = (2 4 3)	Q 7 {\displaystyle Q_{7}} = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
M 8 = [ 0 − 1 0 0 0 1 − 1 0 0 ] {\displaystyle M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}	P 8 {\displaystyle P_{8}} = (2 4 5)	Q 8 {\displaystyle Q_{8}} = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
M 9 = [ − ϕ 2 1 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 9 {\displaystyle P_{9}} = (2 4)(3 5)	Q 9 {\displaystyle Q_{9}} = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
M 10 = [ − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 10 {\displaystyle P_{10}} = (2 5 3)	Q 10 {\displaystyle Q_{10}} = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
M 11 = [ 0 0 − 1 − 1 0 0 0 1 0 ] {\displaystyle M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}	P 11 {\displaystyle P_{11}} = (2 5 4)	Q 11 {\displaystyle Q_{11}} = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
M 12 = [ 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 12 {\displaystyle P_{12}} = (2 5)(3 4)	Q 12 {\displaystyle Q_{12}} = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
M 13 = [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}	P 13 {\displaystyle P_{13}} = (1 2)(4 5)	Q 13 {\displaystyle Q_{13}} = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
M 14 = [ − 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 14 {\displaystyle P_{14}} = (1 2)(3 4)	Q 14 {\displaystyle Q_{14}} = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
M 15 = [ − 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 15 {\displaystyle P_{15}} = (1 2)(3 5)	Q 15 {\displaystyle Q_{15}} = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
M 16 = [ − 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 16 {\displaystyle P_{16}} = (1 2 3)	Q 16 {\displaystyle Q_{16}} = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
M 17 = [ − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 17 {\displaystyle P_{17}} = (1 2 3 4 5)	Q 17 {\displaystyle Q_{17}} = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
M 18 = [ ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 18 {\displaystyle P_{18}} = (1 2 3 5 4)	Q 18 {\displaystyle Q_{18}} = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
M 19 = [ − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 19 {\displaystyle P_{19}} = (1 2 4 5 3)	Q 19 {\displaystyle Q_{19}} = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
M 20 = [ 0 0 1 − 1 0 0 0 − 1 0 ] {\displaystyle M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}	P 20 {\displaystyle P_{20}} = (1 2 4)	Q 20 {\displaystyle Q_{20}} = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
M 21 = [ 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 21 {\displaystyle P_{21}} = (1 2 4 3 5)	Q 21 {\displaystyle Q_{21}} = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
M 22 = [ ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 22 {\displaystyle P_{22}} = (1 2 5 4 3)	Q 22 {\displaystyle Q_{22}} = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
M 23 = [ 0 1 0 0 0 − 1 − 1 0 0 ] {\displaystyle M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}	P 23 {\displaystyle P_{23}} = (1 2 5)	Q 23 {\displaystyle Q_{23}} = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
M 24 = [ − ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 24 {\displaystyle P_{24}} = (1 2 5 3 4)	Q 24 {\displaystyle Q_{24}} = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
M 25 = [ − 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 25 {\displaystyle P_{25}} = (1 3 2)	Q 25 {\displaystyle Q_{25}} = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
M 26 = [ ϕ 2 1 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 26 {\displaystyle P_{26}} = (1 3 4 5 2)	Q 26 {\displaystyle Q_{26}} = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
M 27 = [ − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 27 {\displaystyle P_{27}} = (1 3 5 4 2)	Q 27 {\displaystyle Q_{27}} = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
M 28 = [ − 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 28 {\displaystyle P_{28}} = (1 3)(4 5)	Q 28 {\displaystyle Q_{28}} = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
M 29 = [ − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 29 {\displaystyle P_{29}} = (1 3 4)	Q 29 {\displaystyle Q_{29}} = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
M 30 = [ ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 30 {\displaystyle P_{30}} = (1 3 5)	Q 30 {\displaystyle Q_{30}} = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
M 31 = [ − ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 31 {\displaystyle P_{31}} = (1 3)(2 4)	Q 31 {\displaystyle Q_{31}} = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
M 32 = [ 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 32 {\displaystyle P_{32}} = (1 3 2 4 5)	Q 32 {\displaystyle Q_{32}} = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
M 33 = [ 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 33 {\displaystyle P_{33}} = (1 3 5 2 4)	Q 33 {\displaystyle Q_{33}} = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
M 34 = [ 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 34 {\displaystyle P_{34}} = (1 3)(2 5)	Q 34 {\displaystyle Q_{34}} = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
M 35 = [ − ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 35 {\displaystyle P_{35}} = (1 3 2 5 4)	Q 35 {\displaystyle Q_{35}} = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
M 36 = [ 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 36 {\displaystyle P_{36}} = (1 3 4 2 5)	Q 36 {\displaystyle Q_{36}} = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
M 37 = [ ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 37 {\displaystyle P_{37}} = (1 4 5 3 2)	Q 37 {\displaystyle Q_{37}} = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
M 38 = [ 0 − 1 0 0 0 − 1 1 0 0 ] {\displaystyle M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}}	P 38 {\displaystyle P_{38}} = (1 4 2)	Q 38 {\displaystyle Q_{38}} = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
M 39 = [ − ϕ 2 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 39 {\displaystyle P_{39}} = (1 4 3 5 2)	Q 39 {\displaystyle Q_{39}} = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
M 40 = [ − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 40 {\displaystyle P_{40}} = (1 4 3)	Q 40 {\displaystyle Q_{40}} = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
M 41 = [ 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ] {\displaystyle M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}	P 41 {\displaystyle P_{41}} = (1 4 5)	Q 41 {\displaystyle Q_{41}} = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
M 42 = [ 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 42 {\displaystyle P_{42}} = (1 4)(3 5)	Q 42 {\displaystyle Q_{42}} = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
M 43 = [ − ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ] {\displaystyle M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 43 {\displaystyle P_{43}} = (1 4 5 2 3)	Q 43 {\displaystyle Q_{43}} = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
M 44 = [ 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 44 {\displaystyle P_{44}} = (1 4)(2 3)	Q 44 {\displaystyle Q_{44}} = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
M 45 = [ 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 45 {\displaystyle P_{45}} = (1 4 2 3 5)	Q 45 {\displaystyle Q_{45}} = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
M 46 = [ 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 46 {\displaystyle P_{46}} = (1 4 2 5 3)	Q 46 {\displaystyle Q_{46}} = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
M 47 = [ 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 47 {\displaystyle P_{47}} = (1 4 3 2 5)	Q 47 {\displaystyle Q_{47}} = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
M 48 = [ − 1 0 0 0 1 0 0 0 − 1 ] {\displaystyle M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}	P 48 {\displaystyle P_{48}} = (1 4)(2 5)	Q 48 {\displaystyle Q_{48}} = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
M 49 = [ − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 ] {\displaystyle M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 49 {\displaystyle P_{49}} = (1 5 4 3 2)	Q 49 {\displaystyle Q_{49}} = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
M 50 = [ 0 0 − 1 1 0 0 0 − 1 0 ] {\displaystyle M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}	P 50 {\displaystyle P_{50}} = (1 5 2)	Q 50 {\displaystyle Q_{50}} = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
M 51 = [ 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ 2 1 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 51 {\displaystyle P_{51}} = (1 5 3 4 2)	Q 51 {\displaystyle Q_{51}} = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
M 52 = [ ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 52 {\displaystyle P_{52}} = (1 5 3)	Q 52 {\displaystyle Q_{52}} = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
M 53 = [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] {\displaystyle M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}}	P 53 {\displaystyle P_{53}} = (1 5 4)	Q 53 {\displaystyle Q_{53}} = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
M 54 = [ − ϕ 2 − 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 54 {\displaystyle P_{54}} = (1 5)(3 4)	Q 54 {\displaystyle Q_{54}} = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
M 55 = [ 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ − 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 ] {\displaystyle M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}	P 55 {\displaystyle P_{55}} = (1 5 4 2 3)	Q 55 {\displaystyle Q_{55}} = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
M 56 = [ − ϕ 2 − 1 2 1 2 ϕ − 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ] {\displaystyle M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}	P 56 {\displaystyle P_{56}} = (1 5)(2 3)	Q 56 {\displaystyle Q_{56}} = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
M 57 = [ 1 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 57 {\displaystyle P_{57}} = (1 5 2 3 4)	Q 57 {\displaystyle Q_{57}} = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
M 58 = [ 1 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 58 {\displaystyle P_{58}} = (1 5 2 4 3)	Q 58 {\displaystyle Q_{58}} = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
M 59 = [ 1 2 − 1 2 ϕ ϕ 2 1 2 ϕ − ϕ 2 − 1 2 ϕ 2 1 2 − 1 2 ϕ ] {\displaystyle M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}	P 59 {\displaystyle P_{59}} = (1 5 3 2 4)	Q 59 {\displaystyle Q_{59}} = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
M 60 = [ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}	P 60 {\displaystyle P_{60}} = (1 5)(2 4)	Q 60 {\displaystyle Q_{60}} = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Grup biasa limbung

Semua grup berikut memiliki urutan 120, tetapi tidak isomorfik:

• S₅, grup simetris pada 5 elemen
• I_h, grup ikosahedral penuh (subjek artikel ini, juga dikenal sebagai H₃)
• 2I, grup ikosahedral biner

Ia sesuai dengan urutan tepat pendek berikut (yang terakhir tidak terpecah) dan produk

1 → A 5 → S 5 → Z 2 → 1 {\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}

I h = A 5 × Z 2 {\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}

1 → Z 2 → 2 I → A 5 → 1 {\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}

In words,

• A 5 {\displaystyle A_{5}} adalah subgrup normal dari S 5 {\displaystyle S_{5}}
• A 5 {\displaystyle A_{5}} adalah faktor dari I h {\displaystyle I_{h}} , yang merupakan produk langsung
• A 5 {\displaystyle A_{5}} adalah grup hasil bagi dari 2 I {\displaystyle 2I}

Perhatikan bahwa A 5 {\displaystyle A_{5}} memiliki biasa 3 dimensi representasi yang tidak direduksi (sebagai grup rotasi ikosahedral), namun S 5 {\displaystyle S_{5}} tidak memiliki representasi 3 dimensi yang tidak dapat direduksi, sesuai dengan grup ikosahedral penuh tidak sebagai grup simetris.

Ini juga dikaitkan dengan grup linear atas Medan hingga dengan lima elemen, yang menunjukkan subgrup dan grup penutup secara langsung; tidak satupun dari ini adalah grup ikosahedral penuh:

• A 5 ≅ PSL ⁡ ( 2 , 5 ) , {\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),} Grup linear proyeksi khusus, lihat di sini untuk bukti;
• S 5 ≅ PGL ⁡ ( 2 , 5 ) , {\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),} grup linear umum proyeksi;
• 2 I ≅ SL ⁡ ( 2 , 5 ) , {\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),} grup linear khusus.

Kelas konjugasi

120 simetri terbagi dalam 10 kelas konjugasi.

Kelas konjugasi

I	Kelas penjumlahan Ih
identitas, urutan 1 12 × rotasi sebesar ±72°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron 12 × rotasi sebesar ±144°, urutan 5, mengelilingi 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron 20 × rotasi dengan ±120°, urutan 3, sekitar 10 sumbu melalui simpul dari dodecahedron 15 × rotasi 180°, urutan 2, sekitar 15 sumbu melalui titik tengah tepi dodecahedron	inversi pusat, urutan 2 12 × rotorefleksi sebesar ±36°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron 12 × rotorefleksi sebesar ±108°, urutan 10, di sekitar 6 sumbu melalui pusat muka dodecahedron 20 × rotorefleksi sebesar ±60°, orde 6, di sekitar 10 sumbu melalui simpul dodecahedron 15 × refleksi, urutan 2, pada 15 bidang melalui tepi dodecahedron

Subgrup dari grup simetri ikosahedral penuh

Setiap baris dalam tabel berikut mewakili satu kelas subgrup konjugat (yaitu, ekuivalen secara geometris). Kolom "Banyak." (multiplisitas) memberikan jumlah subgrup yang berbeda di kelas konjugasi. Penjelasan warna: hijau = grup yang dihasilkan oleh refleksi, merah = grup kiral (pelestarian orientasi), yang hanya berisi rotasi.

Grup tersebut digambarkan secara geometris dalam bentuk dodecahedron. Singkatan "s.p.m.t.(tepi)" berarti "setengah putaran menukar tepi ini dengan tepi berlawanan", dan juga untuk "wajah" dan "simpul".

Schön.	Coxeter		Orb.	H-M	Struktur	Siklus.	Urutan|Indeks	Mult.	Deskripsi
Ih	[5,3]		*532	532/m	A5×Z2		120	1	1	grup penuh
D2h	[2,2]		*222	mmm	Dih2×Dih1=Dih13		8	15	5	memperbaiki dua sisi berlawanan, dengan menukarnya
C5v	[5]		*55	5m	Dih5	25px]]	10	12	6	memperbaiki wajah
C3v	[3]		*33	3m	Dih3=S3		6	20	10	memperbaiki simpul
C2v	[2]		*22	2mm	Dih2=Dih12		4	30	15	memperbaiki tepi
Cs	[ ]		*	2 atau m	Dih1		2	60	15	refleksi menukar dua titik akhir dari sebuah tepi
Th	[3+,4]		3*2	m3	A4×Z2		24	5	5	grup piritohedral
D5d	[2+,10]		2*5	10m2	Dih10=Z2×Dih5		20	6	6	memperbaiki dua wajah berlawanan, dengan menukarnya
D3d	[2+,6]		2*3	3m	Dih6=Z2×Dih3		12	10	10	memperbaiki dua simpul berlawanan, dengan menukarnya
D1d = C2h	[2+,2]		2*	2/m	Dih2=Z2×Dih1		4	30	15	setengah putaran di sekitar titik tengah tepi, ditambah inversi pusat
S10	[2+,10+]		5×	5	Z10=Z2×Z5		10	12	6	rotasi wajah, ditambah inversi pusat
S6	[2+,6+]		3×	3	Z6=Z2×Z3		6	20	10	rotasi tentang simpul, ditambah inversi pusat
S2	[2+,2+]		×	1	Z2		2	60	1	inversi pusat
I	[5,3]+		532	532	A5		60	2	1	semua rotasi
T	[3,3]+		332	332	A4		12	10	5	rotasi dari tetrahedron terhubung
D5	[2,5]+		522	522	Dih5		10	12	6	rotasi di sekitar pusat wajah, dan s.p.m.t.(wajah)
D3	[2,3]+		322	322	Dih3=S3		6	20	10	rotasi di sekitar simpul, dan s.p.m.t.(titik)
D2	[2,2]+		222	222	Dih2=Z22		4	30	15	setengah berputar di sekitar titik tengah tepi, dan s.p.m.t.(tepi)
C5	[5]+		55	5	Z5		5	24	6	rotasi di sekitar pusat wajah
C3	[3]+		33	3	Z3=A3		3	40	10	rotasi di sekitar simpul
C2	[2]+		22	2	Z2		2	60	15	setengah putaran titik tengah tepi
C1	[ ]+		11	1	Z1		1	120	1	grup trivial

Stabilisator titik

Stabilisator dari pasangan simpul berlawanan diartikan sebagai stabilisator dari sumbu yang dihasilkan.

• stabilisator titik di I memberikan grup siklik C₃
• stabilisator titik di I_h memberikan grup dihedral D₃
• stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di I memberikan grup dihedral D₃
• stabilisator dari pasangan simpul berlawanan di I_h memberikan D 3 × ± 1 {\displaystyle D_{3}\times \pm 1}

Stabilisator tepi

Stabilisator dari sepasang tepi berlawanan diartikan sebagai stabilisator persegi panjang yang dihasilkan.

• stabilisator tepi di I memberikan grup siklik Z₂
• penstabil tepi di I_h memberikan Klein empat grup Z 2 × Z 2 {\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}
• stabilisator dari sepasang sisi dalam I memberikan Klein empat grup Z 2 × Z 2 {\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}} ; 5 diantaranya, diberikan oleh rotasi 180° dalam 3 sumbu tegak lurus.
• stabilisator dari sepasang sisi dalam I_h memberikan Z 2 × Z 2 × Z 2 {\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}} ; 5 diantaranya, yang diberikan oleh refleksi dalam 3 sumbu tegak lurus.

Stabilisator wajah

Stabilisator dari pasangan wajah berlawanan diartikan sebagai stabilisator anti-prisma yang dihasilkan.

• stabilisator wajah di I memberikan grup siklik C₅
• stabilisator wajah di I_h memberikan grup dihedral D₅
• stabilisator dari pasangan wajah berlawanan di I memberikan grup dihedral D₅
• stabilisator dari pasangan wajah yang berlawanan di I_h memberikan D 5 × ± 1 {\displaystyle D_{5}\times \pm 1}

Stabilisator polihedron

Untuk masing-masing, 5 salinan konjugasi, dan tindakan konjugasi memberikan peta, I → ∼ A 5 < S 5 {\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}} .

• stabilisator dari tetrahedra tertulis di I adalah salinan T
• stabilisator dari tetrahedra tertulis di I_h adalah salinan T
• stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di I adalah salinan T
• stabilisator dari kubus tertulis (atau pasangan berlawanan dari tetrahedra, atau oktahedra) di I_h adalah salinan dari T_h

Generator grup Coxeter

Grup simetri ikosahedral penuh [5,3] () urutan 120 memiliki generator diwakili oleh matriks refleksi R₀, R₁, R₂, dengan relasi R₀² = R₁² = R₂² = (R₀×R₁)⁵ = (R₁×R₂)³ = (R₀×R₂)² = Identitas. Grup [5,3]⁺ () urutan 60 dihasilkan oleh dua rotasi S_0,1, S_1,2, S_0,2. Sebuah refleksi rotor urutan 10 dihasilkan oleh V_0,1,2, produk dari ketiga refleksi. Di sini ϕ = 5 + 1 2 {\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}} menunjukkan rasio emas.

[5,3],

	Refleksi			Rotasi			Rotorefleksi
Nama	R0	R1	R2	S0,1	S1,2	S0,2	V0,1,2
Grup
Urutan	2	2	2	5	3	2	10
Matrix	[ − 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}	[ 1 − ϕ 2 − ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 1 2 1 − ϕ 2 − 1 2 1 − ϕ 2 ϕ 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}	[ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}	[ ϕ − 1 2 ϕ 2 1 2 − ϕ 2 1 2 1 − ϕ 2 − 1 2 1 − ϕ 2 ϕ 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}	[ 1 − ϕ 2 ϕ 2 − 1 2 − ϕ 2 − 1 2 1 − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}	[ − 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}	[ ϕ − 1 2 − ϕ 2 1 2 − ϕ 2 − 1 2 1 − ϕ 2 − 1 2 ϕ − 1 2 ϕ 2 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}
	(1,0,0)n	( ϕ 2 , 1 2 , ϕ − 1 2 ) {\displaystyle ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})} n	(0,1,0)n	( 0 , − 1 , ϕ ) {\displaystyle (0,-1,\phi )} sumbu	( 1 − ϕ , 0 , ϕ ) {\displaystyle (1-\phi ,0,\phi )} sumbu	( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} sumbu

Domain fundamental

Domain fundamental untuk grup rotasi ikosahedral dan grup ikosahedral penuh diberikan oleh:

Grup rotasi ikosahedral I

Grup ikosahedral penuh Ih

Wajah triacontahedron Disdyakis adalah domain fundamental

Dalam triacontahedron Disdyakis satu wajah penuh adalah domain fundamental; padatan lain dengan simetri yang sama diperoleh dengan menyesuaikan orientasi wajah, misalnya himpunan bagian wajah dipilih untuk menggabungkan setiap himpunan bagian menjadi satu wajah, atau mengganti setiap wajah dengan beberapa wajah, atau permukaan melengkung.

Polihedra dengan simetri ikosahedral

Kiral polihedra

Kelas	Simbol	Gambar
Archimedean	sr{5,3}
Catalan	V3.3.3.3.5

Simetri ikosahedral penuh

Padatan Platonis	Polihedra Kepler–Poinsot		Padatan Archimedean
{5,3}	Berkas:SmallStellatedDodecahedron.svg {5/2,5}	Berkas:GreatStellatedDodecahedron.svg {5/2,3}	Berkas:TruncatedDodecahedron.svg t{5,3}	t{3,5}	Berkas:IcosiDodecahedron.svg r{3,5}	Berkas:RhombicosiDodecahedron.svg rr{3,5}	Berkas:TruncatedicosiDodecahedron.svg tr{3,5}
Padatan Platonik	Polihedra Kepler–Poinsot		Padatan Catalan
{3,5} =	Berkas:GreatDodecahedron.svg {5,5/2} =	{3,5/2} =	V3.10.10	Berkas:PentakisDodecahedron.svg V5.6.6	V3.5.3.5	V3.4.5.4	V4.6.10

Objek lain dengan simetri ikosahedral

• Permukaan Barth
• Struktur virus, dan Kapsid
• Dalam kimia, ion dodecaborate ([B₁₂H₁₂]²⁻) dan molekul dodecahedrane (C₂₀H₂₀)

Kristal cair dengan simetri ikosahedral

Untuk fase bahan antara yang disebut kristal cair keberadaan simetri ikosahedral diusulkan oleh H. Kleinert dan K. Maki^[2] dan strukturnya pertama kali dianalisis secara rinci dalam makalah itu. Lihat artikel ulasan disini. Dalam aluminium, struktur ikosahedral ditemukan secara eksperimental tiga tahun setelah ini oleh Dan Shechtman, yang membuatnya mendapatkan Hadiah Nobel pada tahun 2011.

Geometri terkait

Simetri ikosahedral setara dengan grup linear khusus proyeksi PSL(2,5), dan adalah grup simetri dari kurva modular X(5), dan lebih umum PSL(2,p) adalah grup simetri dari kurva modular X(p). Kurva modular X(5) secara geometris merupakan dodecahedron dengan titik puncak di tengah setiap wajah poligonal, yang menunjukkan grup simetri.

Geometri ini, dan grup simetri terkait, dipelajari oleh Felix Klein sebagai kelompok monodromi permukaan Belyi – permukaan Riemann dengan peta holomorfik ke bola Riemann, bercabang hanya 0, 1, dan tak hingga (sebuah fungsi Belyi) – puncaknya adalah titik-titik yang terletak atas tak hingga, sedangkan simpul dan pusat setiap tepi terletak di atas 0 dan 1; tingkat penutup (jumlah lembar) sama dengan 5.

Ini muncul dari usahanya untuk memberikan pengaturan geometris mengapa simetri ikosahedral muncul dalam solusi persamaan kuintik, dengan teori yang diberikan dalam (Klein 1888) yang terkenal; eksposisi modern diberikan dalam (Tóth 2002, Bagian 1.6, Topik Tambahan: Teori Klein tentang Ikosahedron, p. 66).

Penyelidikan Klein dilanjutkan dengan penemuan simetri urutan 7 dan urutan 11 dalam (Klein & 1878/79b) harv error: tanpa target: CITEREFKlein1878/79b (bantuan) dan (Klein 1879) (dan penutup terkait derajat 7 dan 11) dan dessins d'enfants, yang pertama menghasilkan kuintik Klein, geometri yang terkait memiliki ubin dengan 24 segi enam (dengan titik puncak di tengah).

Geometri serupa dengan PSL(2,n) dan grup yang umum untuk kurva modular lainnya.

Lebih eksotis lagi, relasi khusus antara grup PSL(2,5) (urutan 60), PSL(2,7) (urutan 168) dan PSL(2,11) (urutan 660), yang juga menerima interpretasi geometris – PSL(2,5) adalah simetri ikosahedron (genus 0), PSL(2,7) dari Klein quartic (genus 3), dan PSL(2,11) permukaan bukminsterfulerena (genus 70). Kelompok-kelompok ini membentuk "trinitas" dalam arti Vladimir Arnold, yang memberikan kerangka kerja untuk berbagai hubungan; lihat trinitas untuk detailnya.

Ada hubungan dekat dengan padatan Platonis lainnya.

Lihat pula

• Simetri tetrahedral
• Simetri oktahedral
• Grup ikosahedral biner
• Kalkulus ikosian

Referensi

Pranala luar

• (Inggris)Weisstein, Eric W. "Grup ikosahedral". MathWorld.
• SUBGRUP W(H3) Diarsipkan 2021-08-30 di Wayback Machine (Subgrup dari grup Coxeter lainnya Diarsipkan 2020-08-02 di Wayback Machine) Gotz Pfeiffer