Pemisahan variabel

Pemisahan variabel (juga dikenal dengan nama metode Fourier) adalah metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan parsial. Metode ini memungkinkan penulisan ulang persamaan agar setiap variabel berada di sisi yang berbeda.

Persamaan diferensial biasa

Apabila persamaan diferensial ditulis dalam bentuk:

d d x f ( x ) = g ( x ) h ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))} ${\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)h(f(x))$

persamaan ini dapat disederhanakan dengan membuat y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} $y=f(x)$ :

d y d x = g ( x ) h ( y ) . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).} ${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).$

Asalkan h(y) ≠ 0, persamaan ini dapat disusun ulang menjadi:

d y h ( y ) = g ( x ) d x , {\displaystyle {dy \over h(y)}=g(x)\,dx,} ${dy \over h(y)}=g(x)\,dx,$

sehingga dua variabel x dan y telah dipisahkan.

Notasi alternatif

Bagi yang tidak menyukai notasi Leibniz, persamaannya bisa ditulis seperti ini:

1 h ( y ) d y d x = g ( x ) , {\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),} ${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x),$

Setiap sisi kemudian diintegrasikan sehubungan dengan x {\displaystyle x} $x$ , sehingga diperoleh

∫ 1 h ( y ) d y d x d x = ∫ g ( x ) d x , ( 1 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (1)} $\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}\,dx=\int g(x)\,dx,\qquad \qquad (1)$

atau bisa juga ditulis:

∫ 1 h ( y ) d y = ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx} $\int {\frac {1}{h(y)}}\,dy=\int g(x)\,dx$

Contoh

Pertumbuhan populasi sering kali dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial berikut:

d P d t = k P ( 1 − P K ) {\displaystyle {\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)} ${\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)$

P {\displaystyle P} $P$ adalah populasi pada waktu t {\displaystyle t} $t$ , k {\displaystyle k} $k$ adalah tingkat pertumbuhan, dan K {\displaystyle K} $K$ adalah kemampuan lingkungan untuk menampung pertambahan jumlah penduduk.

Pemisahan variabel perlu dilakukan untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini:

d P d t = k P ( 1 − P K ) ∫ d P P ( 1 − P K ) = ∫ k d t {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\\[5pt]&\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}} ${\begin{aligned}&{\frac {dP}{dt}}=kP\left(1-{\frac {P}{K}}\right)\\[5pt]&\int {\frac {dP}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}=\int k\,dt\end{aligned}}$

Untuk mencari integral di sisi kiri, pecahannya disederhanakan:

1 P ( 1 − P K ) = K P ( K − P ) {\displaystyle {\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}} ${\frac {1}{P\left(1-{\frac {P}{K}}\right)}}={\frac {K}{P\left(K-P\right)}}$

dan pecahan kemudian diubah menjadi pecahan parsial:

K P ( K − P ) = 1 P + 1 K − P {\displaystyle {\frac {K}{P(K-P)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}} ${\frac {K}{P(K-P)}}={\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}$

sehingga diperoleh:

∫ ( 1 P + 1 K − P ) d P = ∫ k d t ln ⁡ | P | − ln ⁡ | K − P | = k t + C ln ⁡ | K − P | − ln ⁡ | P | = − k t − C ln ⁡ | K − P P | = − k t − C | K − P P | = e − k t − C | K − P P | = e − C e − k t K − P P = ± e − C e − k t Jika A = ± e − C . K − P P = A e − k t K P − 1 = A e − k t K P = 1 + A e − k t P K = 1 1 + A e − k t P = K 1 + A e − k t {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]{\text{Jika }}&A=\pm e^{-C}.\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}&\int \left({\frac {1}{P}}+{\frac {1}{K-P}}\right)\,dP=\int k\,dt\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}=kt+C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}}-\ln {\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&\ln {\begin{vmatrix}{\cfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=-kt-C\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-kt-C}\\[6pt]&{\begin{vmatrix}{\dfrac {K-P}{P}}\end{vmatrix}}=e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=\pm e^{-C}e^{-kt}\\[6pt]{\text{Jika }}&A=\pm e^{-C}.\\[6pt]&{\frac {K-P}{P}}=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}-1=Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {K}{P}}=1+Ae^{-kt}\\[6pt]&{\frac {P}{K}}={\frac {1}{1+Ae^{-kt}}}\\[6pt]&P={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}\end{aligned}}$

Maka solusi persamaan ini adalah:

P ( t ) = K 1 + A e − k t {\displaystyle P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}} $P(t)={\frac {K}{1+Ae^{-kt}}}$

Untuk mencari A {\displaystyle A} $A$ , asumsikan t = 0 {\displaystyle t=0} $t=0$ dan P ( 0 ) = P 0 {\displaystyle P\left(0\right)=P_{0}} $P\left(0\right)=P_{0}$ . Maka diperoleh