Operasi aljabar

Dalam matematika, operasi aljabar dasar adalah salah satu dari operasi aritmetika yang umum, yang mencakup penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, menaikkan menjadi bilangan bulat pangkat, dan mengambil akar (pangkat pecahan).^[1][2] Operasi ini dapat dilakukan pada bilangan, dalam hal ini sering disebut operasi aritmetika. Mereka juga dapat dilakukan, dengan cara yang sama, pada variabel, ekspresi aljabar,^[3] dan lebih umum lagi, pada elemen struktur aljabar, seperti grup dan bidang.^[4] Operasi aljabar juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari pangkat Kartesius dari himpunan ke himpunan yang sama.^[5]

Istilah operasi aljabar juga dapat digunakan untuk operasi yang dapat didefinisikan dengan menggabungkan operasi aljabar dasar, seperti produk titik. Dalam kalkulus dan analisis matematika, operasi aljabar juga digunakan untuk operasi yang dapat ditentukan dengan murni metode aljabar. Misalnya, eksponen dengan eksponen bilangan bulat atau rasional adalah operasi aljabar, tetapi bukan eksponen umum dengan eksponen riil atau kompleks. Selain itu, turunan adalah operasi yang tidak bersifat aljabar.

Notasi

Simbol perkalian biasanya dihilangkan, dan tersirat, ketika tidak ada operator antara dua variabel atau suku, atau ketika koefisien digunakan. Misalnya, 3 × x² ditulis sebagai 3x², and 2 × x × y ditulis sebagai 2xy.^[6] Terkadang, simbol perkalian diganti dengan titik, atau titik tengah,^[1] sehingga x × y ditulis sebagai x . y or x · y. Teks biasa, bahasa pemrograman, dan kalkulator juga menggunakan tanda bintang tunggal untuk mewakili simbol perkalian,^[7] dan itu harus digunakan secara eksplisit; misalnya, 3x ditulis sebagai 3 * x.

Menggunakan tanda pembagian (÷) yang ambigu,^[a] Pembagian biasanya diwakili dengan vinculum, garis horizontal 3x + 1. Dalam teks biasa dan bahasa pemrograman, garis miring (juga disebut solidus) digunakan, misalnya 3 / (x + 1).

Eksponen biasanya diformat menggunakan superskrip,^[1] as in x². Dalam teks biasa, dan dalam bahasa markup TeX, simbol tanda sisipan, ^, mewakili eksponen, jadi x² ditulis sebagai x ^ 2.^[9][10] Dalam bahasa pemrograman seperti Ada,^[11] Fortran,^[12] Perl,^[13] Python^[14] and Ruby,^[15] tanda bintang ganda digunakan, jadi x² ditulis sebagai x ** 2.

Tanda plus-minus, ±, digunakan sebagai notasi singkatan untuk dua ekspresi yang ditulis sebagai satu, mewakili satu ekspresi dengan tanda plus, yang lain dengan tanda minus.^[1] Sebagai contoh, y = x ± 1 mewakili dua persamaan y = x + 1 dan y = x − 1. Terkadang, ini digunakan untuk menunjukkan istilah positif atau negatif seperti ±x.

Operasi aritmetika vs aljabar

Operasi aljabar dengan cara yang sama seperti operasi aritmetika, seperti yang dapat dilihat pada tabel di bawah.

Operasi	Aritmetika Contoh	Aljabar Contoh	Keterangan ≡ artinya "setara dengan" ≢ berarti "tidak setara dengan"
Penambahan	( 5 × 5 ) + 5 + 5 + 3 {\displaystyle (5\times 5)+5+5+3} setara dengan: 5 2 + ( 2 × 5 ) + 3 {\displaystyle 5^{2}+(2\times 5)+3}	( b × b ) + b + b + a {\displaystyle (b\times b)+b+b+a} setara dengan: b 2 + 2 b + a {\displaystyle b^{2}+2b+a}	2 × b ≡ 2 b b + b + b ≡ 3 b b × b ≡ b 2 {\displaystyle {\begin{aligned}2\times b&\equiv 2b\\b+b+b&\equiv 3b\\b\times b&\equiv b^{2}\end{aligned}}}
Pengurangan	( 7 × 7 ) − 7 − 5 {\displaystyle (7\times 7)-7-5} setara dengan: 7 2 − 7 − 5 {\displaystyle 7^{2}-7-5}	( b × b ) − b − a {\displaystyle (b\times b)-b-a} setara dengan: b 2 − b − a {\displaystyle b^{2}-b-a}	b 2 − b ≢ b 3 b − b ≡ 2 b b 2 − b ≡ b ( b − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}-b&\not \equiv b\\3b-b&\equiv 2b\\b^{2}-b&\equiv b(b-1)\end{aligned}}}
Perkalian	3 × 5 {\displaystyle 3\times 5} atau 3   .   5 {\displaystyle 3\ .\ 5}   atau   3 ⋅ 5 {\displaystyle 3\cdot 5} atau   ( 3 ) ( 5 ) {\displaystyle (3)(5)}	a × b {\displaystyle a\times b} or a . b {\displaystyle a.b}   atau   a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} atau   a b {\displaystyle ab}	a × a × a {\displaystyle a\times a\times a} sama dengan a 3 {\displaystyle a^{3}}
Pembagian	12 ÷ 4 {\displaystyle 12\div 4} or   12 / 4 {\displaystyle 12/4} atau   12 4 {\displaystyle {\frac {12}{4}}}	b ÷ a {\displaystyle b\div a} atau   b / a {\displaystyle b/a} atau   b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}}	( a + b ) 3 ≡ 1 3 × ( a + b ) {\displaystyle {\frac {(a+b)}{3}}\equiv {\tfrac {1}{3}}\times (a+b)}
Eksponensial	3 1 2 {\displaystyle 3^{\frac {1}{2}}}   2 3 {\displaystyle 2^{3}}	a 1 2 {\displaystyle a^{\frac {1}{2}}}   a 3 {\displaystyle a^{3}}	a 1 2 {\displaystyle a^{\frac {1}{2}}} sama dengan a {\displaystyle {\sqrt {a}}}   a 3 {\displaystyle a^{3}} sama dengan a × a × a {\displaystyle a\times a\times a}

Catatan: penggunaan huruf a {\displaystyle a} dan b {\displaystyle b} sewenang-wenang, dan contoh akan sama validnya jika x {\displaystyle x} dan y {\displaystyle y} digunakan.

Sifat operasi aritmetika dan aljabar

Operasi	Aritmetika Contoh	Aljabar Contoh	Keterangan ≡ artinya "setara dengan" ≢ berarti "tidak setara dengan"
Komutatif	3 + 5 = 5 + 3 {\displaystyle 3+5=5+3} 3 × 5 = 5 × 3 {\displaystyle 3\times 5=5\times 3}	a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} a × b = b × a {\displaystyle a\times b=b\times a}	Penjumlahan dan perkalian komutatif dan asosiatif[16] Pengurangan dan pembagian bukan: e.g. ( a − b ) ≢ ( b − a ) {\displaystyle (a-b)\not \equiv (b-a)}
Asosiatif	( 3 + 5 ) + 7 = 3 + ( 5 + 7 ) {\displaystyle (3+5)+7=3+(5+7)} ( 3 × 5 ) × 7 = 3 × ( 5 × 7 ) {\displaystyle (3\times 5)\times 7=3\times (5\times 7)}	( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)} ( a × b ) × c = a × ( b × c ) {\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}

Lihat pula

• Ekspresi aljabar
• Fungsi aljabar
• Aljabar dasar
• Faktorisasi ekspresi kuadrat
• Urutan operasi

Catatan

Referensi