Objek bebas

Dalam matematika, gagasan tentang objek bebas adalah salah satu konsep dasar aljabar abstrak. Objek bebas bagian dari aljabar universal, dalam arti bahwa ia berkaitan dengan semua jenis struktur aljabar (dengan operasi finiter). Ini juga memiliki rumusan dalam istilah teori kategori, meskipun ini masih dalam istilah yang lebih abstrak. Contohnya termasuk grup bebas, aljabar tensor, atau kisi bebas. Secara informal, objek bebas di atas himpunan A dapat dianggap sebagai struktur aljabar "generik" di atas A : salah satu persamaan yang terdapat antara elemen objek bebas adalah persamaan yang mengikuti aksioma penentu dalam struktur aljabar.

Definisi

Objek bebas adalah generalisasi langsung kekategori dari gagasan basis dalam ruang vektor. Fungsi linear u : E₁ → E₂ antara ruang vektor sepenuhnya ditentukan dari nilai berdasarkan ruang vektor E₁. Definisi berikut menerjemahkan ke kategori.

Sebuah kategori konkret adalah kategori yang dilengkapi dengan funktor setia hingga Himpunan, kategori himpunan. Misalkan C menjadi kategori konkret dengan fungsi setia F : C → Himpunan. Misalkan X menjadi objek dalam Himpunan (yaitu, X adalah himpunan, di sini disebut basis ), maka A menjadi objek di C, dan i : X → F(A) menjadi peta injeksi antara himpunan X dan F(A) (disebut penyisipan kanonik ). Kemudian A dikatakan sebagai objek bebas X (sehubungan dengan i ) jika dan hanya jika memenuhi sifat universal berikut:

objek B antara C dan peta di antara himpunan f : X → F(B), morfisme g : A → B dengan C sehingga f = F(g) ∘ i. Yaitu, diagram berikut:

X → i F ( A ) f ↘ ↙ F ( g ) F ( B ) {\displaystyle {\begin{array}{c}X{\xrightarrow {\quad i\quad }}F(A)\\{}_{f}\searrow \quad \swarrow {}_{F(g)}\\F(B)\quad \\\end{array}}}

Dengan cara ini functor bebas yang membangun objek bebas A dari himpunan X menjadi adjoin kiri ke funktor fogetful.

Contoh

Pembuatan objek bebas berlangsung dalam dua langkah. Untuk aljabar yang sesuai dengan hukum asosiatif, langkah pertama adalah mempertimbangkan kumpulan semua kemungkinan kata yang dibentuk dari alfabet. Kemudian seseorang membebankan satu himpunan relasi ekuivalensi pada kata, di mana relasinya adalah relasi yang menentukan dari objek aljabar. Objek bebas kemudian terdiri dari himpunan kelas kesetaraan.

Pertimbangkan, misalnya, pembangunan grup gratis dalam dua generator. Satu dimulai dengan alfabet yang terdiri dari lima huruf { e , a , b , a − 1 , b − 1 } {\displaystyle \{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}} . Pada langkah pertama, belum ada arti yang ditetapkan untuk "huruf" a − 1 {\displaystyle a^{-1}} atau b − 1 {\displaystyle b^{-1}} ; pada langkah kedua. Jadi, kita bisa memulai dengan alfabet dengan lima huruf yaitu S = { a , b , c , d , e } {\displaystyle S=\{a,b,c,d,e\}} . Dalam contoh ini, kumpulan semua kata atau string W ( S ) {\displaystyle W(S)} akan menyertakan pita seperti aebecede dan abdc , dan seterusnya, dengan panjang terbatas, dengan huruf yang disusun dalam setiap barisan yang memungkinkan.

Pada langkah berikutnya, seseorang memberlakukan satu set relasi ekuivalensi. Hubungan kesetaraan untuk grup adalah perkalian dengan identitas, g e = e g = g {\displaystyle ge=eg=g} , dan perkalian invers: g g − 1 = g − 1 g = e {\displaystyle gg^{-1}=g^{-1}g=e} . Menerapkan relasi ini ke pita di atas, maka

a e b e c e d e = a b a − 1 b − 1 , {\displaystyle aebecede=aba^{-1}b^{-1},}

di mana c {\displaystyle c} adalah pengganti untuk a − 1 {\displaystyle a^{-1}} , dan d {\displaystyle d} adalah pengganti untuk b − 1 {\displaystyle b^{-1}} , sedangkan e {\displaystyle e} adalah elemen identitas. Begitu pula yang dimiliki

a b d c = a b b − 1 a − 1 = e . {\displaystyle abdc=abb^{-1}a^{-1}=e.}

Menunjukkan relasi ekuivalensi atau kekongruenan dengan ∼ {\displaystyle \sim } , objek bebas kemudian adalah kumpulan kelas kesetaraan. Jadi, dalam contoh ini, grup gratis dalam dua generator adalah hasil bagi

F 2 = W ( S ) / ∼ . {\displaystyle F_{2}=W(S)/\sim .}

Ini sering ditulis sebagai F 2 = W ( S ) / E {\displaystyle F_{2}=W(S)/E} di mana W ( S ) = { a 1 a 2 … a n | a k ∈ S ; n ∈ N } {\displaystyle W(S)=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}} adalah himpunan dari kata, dan E = { a 1 a 2 … a n | e = a 1 a 2 … a n ; a k ∈ S ; n ∈ N } {\displaystyle E=\{a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,\vert \;e=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\,;\,a_{k}\in S\,;\,n\in \mathbb {N} \}} adalah kelas ekivalensi dari identitas, setelah relasi yang mendefinisikan kelompok diberlakukan.

Kasus umum

Dalam kasus umum, hubungan aljabar tidak perlu asosiatif, dalam hal ini titik awalnya bukan himpunan semua kata, melainkan, string diselingi dengan tanda kurung, yang digunakan untuk menunjukkan pengelompokan huruf non-asosiatif. String seperti itu mungkin secara ekuivalen diwakili oleh pohon biner atau magma bebas; daun pohon adalah huruf-huruf dari alfabet.

Hubungan aljabar mungkin kemudian umum ariti atau relasi finiter pada daun pohon. Daripada memulai dengan kumpulan semua kemungkinan string dalam tanda kurung, akan lebih mudah untuk memulai dengan Herbrand semesta. Mendeskripsikan atau menghitung dengan benar konten objek bebas bisa jadi mudah atau sulit, bergantung pada objek aljabar tertentu yang dimaksud. Misalnya, grup gratis dalam dua generator dengan mudah dijelaskan. Sebaliknya, sedikit atau tidak ada yang diketahui tentang struktur aljabar Heyting bebas di lebih dari satu generator.^[1] Masalah untuk menentukan apakah dua string berbeda milik kelas ekivalen yang sama dikenal sebagai masalah kata.

Seperti yang disarankan dalam contoh, objek bebas terlihat seperti konstruksi dari sintaks; seseorang dapat membalikkannya sampai batas tertentu dengan mengatakan bahwa penggunaan utama sintaksis dapat dijelaskan dan dikarakterisasi sebagai objek bebas, dengan cara yang membuat 'tanda baca' yang tampak berat dapat dijelaskan (dan lebih mudah diingat).^{[butuh klarifikasi]}

Aljabar universal bebas

Bagian ini memerlukan pengembangan. Anda dapat membantu dengan mengembangkannya. (Januari 2021)

Maka S {\displaystyle S} menjadi sembarang, dan biarkan A {\displaystyle \mathbf {A} } menjadi struktur aljabar dengan tipe ρ {\displaystyle \rho } dihasilkan oleh S {\displaystyle S} . Maka himpunan yang mendasari struktur aljabar A {\displaystyle \mathbf {A} } , terkadang disebut semesta, jadilah A {\displaystyle A} , dan misalkan ψ : S → A {\displaystyle \psi :S\to A} menjadi sebuah fungsi. Jadi ( A , ψ ) {\displaystyle (A,\psi )} (atau secara informal saja A {\displaystyle \mathbf {A} } ) adalah aljabar bebas (bertipe ρ {\displaystyle \rho } ) pada himpunan I S {\displaystyle IS} dari generator gratis jika, untuk setiap aljabar B {\displaystyle \mathbf {B} } dari tipe ρ {\displaystyle \rho } dan fungsi τ : S → B {\displaystyle \tau :S\to B} , di mana B {\displaystyle B} adalah semesta B {\displaystyle \mathbf {B} } , homomorfisme σ : A → B {\displaystyle \sigma :A\to B} sehingga σ ∘ ψ = τ . {\displaystyle \sigma \circ \psi =\tau .}

Daftar objek bebas

Jenis objek gratis tertentu meliputi:

• aljabar bebas
  • aljabar asosiatif bebas
  • aljabar komutatif gratis
• kategori bebas
  • kategori monoidal bebas
• grup bebas
  • grup abelian bebas
  • grup komutatif sebagian bebas
• Aljabar Kleene bebas
• kisi bebas
  • aljabar Boolean bebas
  • kisi distributif bebas
  • aljabar Heyting bebas
  • kisi modular bebas
• aljabar Lie bebas
• magma bebas
• modul bebas, dan khususnya, ruang vektor
• monoid bebas
  • monoid komutatif bebas
  • monoid komutatif sebagian bebas
• gelanggang bebas
• semigrup bebas
• semigelanggang bebas
  • semigelanggang komutatif bebas
• teori bebas
• istilah aljabar
• ruang diskrit

Lihat pula

• Himpunan generasi

Catatan

1. ↑ Peter T. Johnstone, Stone Spaces, (1982) Cambridge University Press, ISBN0-521-23893-5. (Perlakuan tentang aljabar Heyting bebas satu generator diberikan dalam bab 1, bagian 4.111)