Koefisien restitusi

Rasio yang mengkarakterkan tumbukan yang tidak elastisTemplat:SHORTDESC:Rasio yang mengkarakterkan tumbukan yang tidak elastis

Sebuah Bola memantul ditangkap melalui Efek stroboskopik dengan 25 {\displaystyle 25} $25$ gambar per detik: Dengan mengabaikan gaya gesek udara, akar kuadrat dari rasio antara pantulan pertama dengan pantulan pertama ialah koefisien restitusi antara bola dengan permukaan tumbukan

Dalam fisika, koefisien restitusi^[1] (bahasa Inggris:Coefficient of restitution, disingkat sebagai COR, yang disimbolkan dengan e {\displaystyle e} $e$ ) atau koefisien kelentingan dapat diartikan sebagai ukuran elastisitas/kelentingan suatu tumbukan yang terjadi antara dua objek. Koefisien restitusi merupakan parameter tanpa dimensi yang didefinisikan sebagai rasio dari kecepatan relatif dua objek setelah dan sebelum terjadinya tumbukan.

Dalam dunia nyata, nilai e {\displaystyle e} $e$ terletak di antara 0 {\displaystyle 0} $0$ dan 1 {\displaystyle 1} $1$ , dengan e = 1 {\displaystyle e=1} $e=1$ menyatakan tumbukan lenting sempurna (yang objeknya memantul tanpa pengurangan kecepatan, namun dengan arah yang berlawanan) dan e = 0 {\displaystyle e=0} $e=0$ menyatakan tumbukan tidak lenting sama sekali (yang objeknya tidak memantul sama sekali, dan berakhir saling menyatu). Persamaan dasar, yang dikenal sebagai persamaan restitusi Newton, dikembangkan oleh Isaac Newton pada 1687.^[2] Koefisien restitusi ( e ) = | Kecepatan relatif dari perpisahan setelah tumbukan | | Kecepatan relatif dari pertemuan sebelum tumbukan | {\displaystyle {\text{Koefisien restitusi }}(e)={\frac {\left|{\text{Kecepatan relatif dari perpisahan setelah tumbukan}}\right|}{\left|{\text{Kecepatan relatif dari pertemuan sebelum tumbukan}}\right|}}} ${\text{Koefisien restitusi }}(e)={\frac {\left|{\text{Kecepatan relatif dari perpisahan setelah tumbukan}}\right|}{\left|{\text{Kecepatan relatif dari pertemuan sebelum tumbukan}}\right|}}$

Pengantar

Sifat sepasang objek

Koefisien restitusi merupakan sifat dari sepasang objek pada suatu tumbukan, bukan objek tunggal. Jika suatu objek bertumbukan dengan dua objek berbeda, setiap tumbukan memiliki koefisien restitusi masing-masing. Saat suatu objek tunggal digambarkan memiliki suatu koefisien restitusi, maka terdapat asumsi yang dibuat – sebagai contoh, tumbukannya terjadi dengan objek lain yang identik, atau dengan tembok yang sangat kokoh.

Dianggap konstan

Dalam analisis dasar, e {\displaystyle e} $e$ secara umum dipandang sebagai konstanta tanpa dimensi, tidak bergantung pada massa dan kecepatan relatif dari dua objek yang terlibat, dan tumbukannya dipandang efektif sesaat. Contoh yang sering kali digunakan sebagai bahan ajar ialah tumbukan dua bola biliar ideal. Interaksi di dunia nyata mungkin saja lebih rumit, misalnya struktur internal dari kedua objek harus dipertimbangkan, atau ketika terdapat beberapa efek kompleks yang terjadi pada waktu antara kontak awal dan perpisahan final.

Rentang nilai e

e {\displaystyle e} $e$ sering kali bernilai positif, suatu bilangan riil di antara 0 {\displaystyle 0} $0$ dan 1 {\displaystyle 1} $1$ :

e = 0 {\displaystyle e=0} $e=0$ : Ini merupakan tumbukan tidak lenting sama sekali, yaitu tumbukan yang membuat objeknya menyatu setelah terjadinya tumbukan.
0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} $0<e<1$ : Ini merupakan tumbukan tidak lenting yang sering terjadi di dunia nyata, yaitu tumbukan yang menghilangkan sebagian energi kinetik. Objek yang terlibat akan memiliki kecepatan yang lebih lambat dibandingkan kecepatan sebelum terjadinya tumbukan.
e = 1 {\displaystyle e=1} $e=1$ : Ini merupakan tumbukan lenting sempurna, yaitu tumbukan yang tidak menghilangkan energi kinetik. Objek yang terlibat akan memantul dengan kecepatan relatif yang sama dengan kecepatan sebelum tumbukan.

Nilai-nilai yang berada di luar rentang tersebut secara prinsip dimungkinkan terjadi, walau pada penerapannya, hal tersebut tidak akan dianalisis dengan analisis dasar yang memandang e {\displaystyle e} $e$ sebagai suatu konstanta :

e < 0 {\displaystyle e<0} $e<0$ : Nilai koefisien restitusi kurang dari nol mengakibatkan tumbukan yang objeknya menembus objek lain, misalnya sebuah peluru menembus target.
e > 1 {\displaystyle e>1} $e>1$ : Hal ini mengakibatkan tumbukan super lenting yang objeknya memantul dengan kecepatan relatif yang lebih cepat daripada kecepatan sebelum tumbukan, akibat lepasnya suatu energi tambahan yang tersimpan saat terjadinya tumbukan.

Persamaan restitusi

Pada kasus tumbukan berdimensi satu yang melibatkan dua objek ideal, O 1 {\displaystyle O_{1}} $O_{1}$ dan O 2 {\displaystyle O_{2}} $O_{2}$ , koefisien restitusi diberikan melalui persamaan restitusi berikut: e = − v 2 ′ − v 1 ′ v 2 − v 1 {\displaystyle e=-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}} $e=-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}$ dengan

v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ menyatakan kecepatan objek O 1 {\displaystyle O_{1}} $O_{1}$ sebelum tumbukan
v 2 {\displaystyle v_{2}} $v_{2}$ menyatakan kecepatan objek O 2 {\displaystyle O_{2}} $O_{2}$ sebelum tumbukan
v 1 ′ {\displaystyle v'_{1}} $v'_{1}$ menyatakan kecepatan objek O 1 {\displaystyle O_{1}} $O_{1}$ setelah tumbukan
v 2 ′ {\displaystyle v'_{2}} $v'_{2}$ menyatakan kecepatan objek O 2 {\displaystyle O_{2}} $O_{2}$ setelah tumbukan

Pada kasus tumbukan lenting sempurna, nilai e = 1 {\displaystyle e=1} $e=1$ dan objeknya memantul dengan kecepatan relatif yang sama dengan kecepatan sebelum tumbukan. Pada kasus tumbukan tidak lenting sama sekali, nilai e = 0 {\displaystyle e=0} $e=0$ dan objek-objek yang terlibat tidak memantul sama sekali.

Misalkan objek O 1 {\displaystyle O_{1}} $O_{1}$ adalah suatu objek stasioner (seperti tembok), maka diperoleh v 1 = v 1 ′ = 0 {\displaystyle v_{1}=v'_{1}=0} $v_{1}=v'_{1}=0$ , sehingga e {\displaystyle e} $e$ dapat didefinisikan sebagai rasio antara kecepatan pantulan objeknya dengan kecepatan sebelum terjadinya tumbukan. Secara matematis, maka e = − v 2 ′ − v 1 ′ v 2 − v 1 = − v 2 ′ − 0 v 2 − 0 = − v ′ v {\displaystyle {\begin{aligned}e&=-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}\\&=-{\dfrac {v'_{2}-0}{v_{2}-0}}=-{\dfrac {v'}{v}}\end{aligned}}} ${\begin{aligned}e&=-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}\\&=-{\dfrac {v'_{2}-0}{v_{2}-0}}=-{\dfrac {v'}{v}}\end{aligned}}$ dengan

v {\displaystyle v} $v$ menyatakan kecepatan awal objek sebelum tumbukan
v ′ {\displaystyle v'} $v'$ menyatakan kecepatan akhir objek setelah tumbukan

Jika suatu objek dijatuhkan dari keadaan diam ke suatu permukaan horizontal, maka dengan mengabaikan gaya gesek udara, diperoleh e = h H {\displaystyle e={\sqrt {\dfrac {h}{H}}}} $e={\sqrt {\dfrac {h}{H}}}$

H {\displaystyle H} $H$ menyatakan ketinggian objek dijatuhkan
h {\displaystyle h} $h$ menyatakan tinggi pantulan

Kecepatan setelah tumbukan

Walaupun nilai e {\displaystyle e} $e$ tidak berubah berdasarkan massa objek yang terlibat dalam tumbukan, kecepatan akhirnya bergantung terhadap massa benda akibat hukum kekekalan momentum: v 1 ′ = m 1 v 1 + m 2 v 2 + e ⋅ m 2 ( v 2 − v 1 ) m 1 + m 2 dan v 2 ′ = m 1 v 1 + m 2 v 2 − e ⋅ m 1 ( v 2 − v 1 ) m 1 + m 2 {\displaystyle v'_{1}={\dfrac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)}{m_{1}+m_{2}}}\qquad {\text{dan}}\qquad v'_{2}={\dfrac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-e\cdot m_{1}\left(v_{2}-v_{1}\right)}{m_{1}+m_{2}}}} $v'_{1}={\dfrac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)}{m_{1}+m_{2}}}\qquad {\text{dan}}\qquad v'_{2}={\dfrac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-e\cdot m_{1}\left(v_{2}-v_{1}\right)}{m_{1}+m_{2}}}$ dengan

v 1 {\displaystyle v_{1}} $v_{1}$ menyatakan kecepatan objek O 1 {\displaystyle O_{1}} $O_{1}$ sebelum tumbukan
v 2 {\displaystyle v_{2}} $v_{2}$ menyatakan kecepatan objek O 2 {\displaystyle O_{2}} $O_{2}$ sebelum tumbukan
v 1 ′ {\displaystyle v'_{1}} $v'_{1}$ menyatakan kecepatan objek O 1 {\displaystyle O_{1}} $O_{1}$ setelah tumbukan
v 2 ′ {\displaystyle v'_{2}} $v'_{2}$ menyatakan kecepatan objek O 2 {\displaystyle O_{2}} $O_{2}$ setelah tumbukan
m 1 {\displaystyle m_{1}} $m_{1}$ menyatakan massa objek O 1 {\displaystyle O_{1}} $O_{1}$
m 2 {\displaystyle m_{2}} $m_{2}$ menyatakan massa objek O 2 {\displaystyle O_{2}} $O_{2}$

Penjabaran rumus
Menurut hukum kekekalan momentum, maka m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ′ + m 2 v 2 ′ {\displaystyle m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}} $m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}$ Berdasarkan definisi dari e {\displaystyle e} $e$ , maka − v 2 ′ − v 1 ′ v 2 − v 1 = e − ( v 2 ′ − v 1 ′ ) = e ( v 2 − v 1 ) v 1 ′ = v 2 ′ + e ( v 2 − v 1 ) m 2 v 1 ′ = m 2 v 2 ′ + e ⋅ m 2 ( v 2 − v 1 ) m 1 v 1 ′ + m 2 v 1 ′ = m 1 v 1 ′ + m 2 v 2 ′ + e ⋅ m 2 ( v 2 − v 1 ) ( m 1 + m 2 ) v 1 ′ = m 1 v 1 + m 2 v 2 + e ⋅ m 2 ( v 2 − v 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}&=e\\-\left(v'_{2}-v'_{1}\right)&=e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\v'_{1}&=v'_{2}+e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{2}v'_{1}&=m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{1}&=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\\left(m_{1}+m_{2}\right)v'_{1}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}&=e\\-\left(v'_{2}-v'_{1}\right)&=e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\v'_{1}&=v'_{2}+e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{2}v'_{1}&=m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{1}&=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\\left(m_{1}+m_{2}\right)v'_{1}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\end{aligned}}$ Cara serupa dapat digunakan untuk mendapatkan rumus v 2 ′ {\displaystyle v'_{2}} $v'_{2}$ .

Penjabaran rumus

Menurut hukum kekekalan momentum, maka m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ′ + m 2 v 2 ′ {\displaystyle m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}} $m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}$ Berdasarkan definisi dari e {\displaystyle e} $e$ , maka − v 2 ′ − v 1 ′ v 2 − v 1 = e − ( v 2 ′ − v 1 ′ ) = e ( v 2 − v 1 ) v 1 ′ = v 2 ′ + e ( v 2 − v 1 ) m 2 v 1 ′ = m 2 v 2 ′ + e ⋅ m 2 ( v 2 − v 1 ) m 1 v 1 ′ + m 2 v 1 ′ = m 1 v 1 ′ + m 2 v 2 ′ + e ⋅ m 2 ( v 2 − v 1 ) ( m 1 + m 2 ) v 1 ′ = m 1 v 1 + m 2 v 2 + e ⋅ m 2 ( v 2 − v 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}&=e\\-\left(v'_{2}-v'_{1}\right)&=e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\v'_{1}&=v'_{2}+e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{2}v'_{1}&=m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{1}&=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\\left(m_{1}+m_{2}\right)v'_{1}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\end{aligned}}} ${\begin{aligned}-{\dfrac {v'_{2}-v'_{1}}{v_{2}-v_{1}}}&=e\\-\left(v'_{2}-v'_{1}\right)&=e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\v'_{1}&=v'_{2}+e\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{2}v'_{1}&=m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{1}&=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\\\left(m_{1}+m_{2}\right)v'_{1}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+e\cdot m_{2}\left(v_{2}-v_{1}\right)\end{aligned}}$ Cara serupa dapat digunakan untuk mendapatkan rumus v 2 ′ {\displaystyle v'_{2}} $v'_{2}$ .

Lihat juga

Referensi

↑ "Koefisien restitusi". Pasti (Padanan Istilah). Badan Pengembangan dan Pembinaan Bahasa. Diakses tanggal 4 November 2024.{{cite web}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
↑ Weir, G.; McGavin, P. (8 Mei 2008). "The coefficient of restitution for the idealized impact of a spherical, nano-scale particle on a rigid plane". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences (dalam bahasa Inggris). 464 (2093): 1295–1307. Bibcode:2008RSPSA.464.1295W. doi:10.1098/rspa.2007.0289. S2CID 122562612.

Pranala luar

(Inggris) Artikel Wolfram mengenai koefisien restitusi
(Inggris) Bennett & Meepagala (2006). "Coefficients of Restitution" [Koefisien Restitusi]. The Physics Factbook.
(Inggris) Chris Hecker's physics introduction
(Inggris) "Getting an extra bounce" by Chelsea Wald
(Inggris) Bowley, Roger (2009). "Coefficient of Restitution" [Koefisien Restitusi]. Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.
(Inggris) Brogliato, Bernard (2016). Nonsmooth Mechanics. Models, Dynamics, and Control. Communications and Control Eng. Springer Int. Pub. Switzerland. ISBN 978-3-319-28662-4.