Dalam aljabar, diberi gelanggang R, kategori modul kiri di atas R adalah kategori yang objek semuanya tersisa modul di atas R . Misalnya, jika R adalah ring integer s 'Z' , itu sama dengan kategori grup abelian. Kategori modul yang tepat didefinisikan dengan cara yang serupa.
Catatan: Beberapa penulis menggunakan istilah kategori modul untuk kategori modul. Istilah ini bisa ambigu karena bisa juga merujuk ke kategori dengan tindakan kategori-monoid.[1]
Sifat
Kategori modul kiri dan kanan adalah kategori abelian. Kategori ini memiliki proyektif cukup[2] dan injeksi cukup.[3] Teorema embedding Mitchell menyatakan setiap kategori abelian muncul sebagai subkategori lengkap dari kategori modul.
Limit proyektif dan batas induktif ada dalam kategori modul kiri dan kanan.[4]
Di atas gelanggang komutatif, bersama dengan hasil kali tensor modul ⊗, kategori modul adalah kategori monoidal simetris.
Kategori ruang vektor
kategori K-Vekt (beberapa penulis menggunakan VektK) memiliki semua ruang vektor di atas bidang K sebagai objek, dan K - peta linier sebagai morfisme. Karena ruang vektor di atas K (sebagai bidang) sama dengan modul di atas gelanggang K, K-Vect adalah kasus khusus R-Mod, kategori kiri R - modul.
Banyak dari aljabar linier berkaitan dengan deskripsi K-Vekt. Misalnya, teorema dimensi untuk ruang vektor mengatakan bahwa kelas isomorfisme ada di K-Vect sesuai persis dengan bilangan kardinal, dan itu K-Vekt adalah ekuivalen dengan subkategori dari K-Vekt yang memiliki ruang vektor sebagai objeknya Kn, dengan n adalah bilangan kardinal.
Generalisasi
Kategori berkas modul di atas ruang berdering juga memiliki cukup suntikan (meskipun tidak selalu cukup proyektif).
Lihat pula
- Teori-K aljabar (invarian penting dari kategori modul.)
- Kategori gelanggang
- Kategori turunan
- Spektrum modul
- Kategori ruang vektor bertingkat
- Kategori grup abelian
- Kategori representasi
Catatan
- ↑ "module category in nLab". ncatlab.org.
- ↑ sepele karena modul apa pun adalah hasil bagi dari modul bebas.
- ↑ Dummit–Foote, Ch. 10, Theorem 38. harvnb error: tanpa target: CITEREFDummit–Foote (bantuan)
- ↑ Bourbaki, § 6. harvnb error: tanpa target: CITEREFBourbaki (bantuan)
Referensi
- Bourbaki, Algèbre; "Algèbre linéaire."
- Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra.
- Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (Edisi second). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
{{cite book}}: Pemeliharaan CS1: Tanggal diterjemahkan otomatis (link)
Pranala luar
 | Artikel bertopik aljabar ini adalah sebuah rintisan. Anda dapat membantu Wikipedia dengan mengembangkannya. |